马晋华

[摘  要] 参变分离是求解不等式恒成立取值问题的常用方法，可有效规避分类讨论，部分情形中需引入洛必达法则，同时参变分离法求解时会涉及不同阶求导情形. 文章对一道试题加以探究，并深刻剖析参变分离法，提出相应的学习建议.

[关键词] 函数;恒成立;参变分离;导数;不等式

[⇩] 问题初探

参变分离法是求解函数与导数问题常用的解法，但对于其中一类与恒成立相关的问题，初步解析来看可用参变分离法，但后续可能产生一些附属问题，如计算求值时出现分母为零无法计算、函数极值无法确定等，下面进行深入探究.

问题：已知函数f（x）的解析式为f（x）=lnx-，如果f（x）≥0在x≥1时始终成立，试求a的取值范围.

分析：f（x）是含有参数a的复合函数，问题可归为不等式恒成立问题，需要使用导数的相关知识，若用参变分离法解析，则过程如下.

参变分离时需对分母进行讨论，当x=1时，有f（1）=ln1-=0，所以f（1）≥0成立.

当x>1时，参变分离原不等式，可得a≤，求不等式在[1，+∞）上恒成立时a的取值范围，构造函数利用导数来研究取值.

构造函数g（x）=，对应导函数为g′（x）=. 令h（x）=x--2lnx，则h′（x）=≥0，故函数h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）=0，则g′（x）≥0，可知g（x）在[1，+∞）上单调递增，进而可知a的取值范围应为a≤g（1），而当x=1时，g（1）的分子、分母均为0，此时必须使用洛必达法则才可解决问题，但会存在两个问题：洛必达法则是高等数学知识，属于超纲内容，部分省份阅卷可能得不到满分;对于一般学生而言，洛必达法则难以理解，并不能灵活使用.

对于该种情形，开展解题探究需要关注……