洪海波

[摘  要] 解析几何问题可从不同视角来突破，尤其是对于与几何结合紧密的问题，可充分挖掘问题中的几何属性，结合函数曲线综合构建. 文章以一道抛物线综合题为例，探索问题解法，剖析问题条件，开展多解探究，并提出相应的教学建议.

[关键词] 解析几何;多解;三角形;面积;模型

[⇩] 问题突破

问题：平面直角坐标系xOy中，已知圆F的解析式为（x-1）2+y2=1，点P是圆外的一点，并在y轴的右侧运动，点P到圆F上点的最小距离等于它到y轴的距离，记点P的轨迹为E，回答下列问题.

（1）求点P的轨迹方程;

（2）设过点F的直线与E相交于点A和B，以AB为直径的☉D与平行于y轴的直线相切，且切点为M，连接DM，设与E的交点为N，试证明△AMB的面积是△AMN面积的4倍.

解析：（1）点P是圆F外y轴右侧上的动点，由条件可知点P到☉F上点的最小距离为

PF

-1，可据此进行思路构建，过程如下.

设点P（x，y），由题意可知x>0，且点F（1，0）. 点P在☉F外，点P到☉F上点的最小距离为

PF

-1，则有

PF

-1=x，即-1=x，化简可得E的方程为y2=4x（x>0）.

（2）该问以AB为直径构建了☉D，且平行于y轴的直线与其相切于点M，并以此形成了两个三角形，证明△AMB和△AMN之间的面积关系可分两步进行：第一步，设点求直线AB的方程，与抛物线联立提取参数之间的关系;第二步，构建三角形面积模型，将面积转化为关于参数的代数式，通过代数式来证明面积关系，具体如下.

设过点F的直线与E的交点为A（x，y）和B（x，y），再设点N（x，y），点D是AB的中点，则D

，

. 根据题意可设直线AB的方程为y=k（x-1） （k≠0），与抛物线的方程联立，有y=k（x-1），

y2=4x，整理可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，则Δ=（2k2+4）2-4k4=16k2+16>0，由韦达定理提取根与系数的关系，有x+x=，则y+y=，可得点D的坐……