段惠莹

[摘  要] 导数“隐零点”问题十分常见，探究学习需要掌握“隐零点”的含义与确定方法，以及问题突破的方法策略. 文章剖析导数“隐零点”，归纳解法，并结合实例加以探究，提出相应的建议.

[关键词] 导数;隐零点;单调性;最值;不等式;范围

[⇩] 问题综述

导数是研究函数问题的重要工具，利用导数可以求解函数综合题，而导数解决函数问题最终都要归结于函数单调性的判断，函数单调性与其零点密切相关，故导函数的零点是解题的核心. 实际问题中导函数的零点有两种类型，从零点是否可精准求解分为“显零点”和“隐零点”. 其中“隐零点”指的是能够判断其存在，但不能或难以确定其极值. 相对于一般零点问题，导数隐零点问题在解决时有一定的差异，下面具体探究其解题策略.

[⇩] 实例分析

问题：已知函数f（x）=x2-x-xlnx，试证明函数存在唯一的极大值点x，使得e-2<f（x）<.

分析：由函数与导数知识可知，可导函数f（x）存在极值的必要条件是f′（x）存在零点x，原函数对应的导函数为f′（x）=2x-2-lnx，故需要判断其是否有零点. 解题的关键是证明x是唯一的极大值点，后續需化简表达式f（x）.

解析：已知原函数f（x）=x2-x-xlnx，对应导函数为f′（x）=2x-2-lnx，观察可知f′（1）=0. 令g（x）=2x-2-lnx，则g′（x）=，令g′（x）=0，则x=. 分析可知在

0，

上，g′（x）<0，函数g（x）单调递减;在

，+∞

上，g′（x）>0，函数g（x）单调递增;所以当x=时，g（x）取得最小值. 由于g

=-1+ln2<0，g（1）=0，g（e-2）>0，所以g（x）在

0，

上只有一个零点x，在

，+∞

上只有一个零点1.

g（x）的正负性就是f′（x）的正负性，可判断f（x）的极值情形.

分析可知x=x是函数f（x）唯一的极大值点，并且2x-2-lnx=0，x∈

0，

. f（x）=-

x-

+，所以f（x）<成立;又因为f（e-1）=e-2，而e-1∈

0，

，f（x）为极大值，故f（x）>e-2.

综上可知，e-2<f（x）<.

评析：上述求证……