江苏省苏州市吴江区松陵第一中学 毛小霞

几何是初中数学重要的知识内容，而在中考中常以综合题的形式考查，涉及众多几何性质和定理，图形结构也较为复杂。合理把握图形特点，识别模型结构且能灵活运用是问题突破的关键。本文以一道中考几何压轴综合题的教学为例，比较两种不同的解法，针对试题进行呈现、解析、赏析，并对其中的模型结构进行拓展。

一、试题呈现

以下是一道中考几何压轴综合题：如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B 为x 轴正半轴上一动点，AE、BF 平分∠OAB、∠OBA，AE、BF 交于点P，试回答下列问题。

（1）求∠BPA 的度数；

图1

图2

二、试题解析

本题共三个小问，题干给出了图形建构的过程，首先需要根据文字描述理解图形的结构，然后结合对应的问题来探究具体的解题思路，具体如下：

（2）分析：由题意知要证明∠MFO=∠EAO，就要想办法证明FM //AE,运用平行线的性质和判定定理。本小问有两种方法，方法1 是用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形来解决问题，方法2是利用“等腰直角+直角”模型构造“手拉手”模型得到全等来解决。

方法1：如图3，连接OP，作PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K。

∵AP、BP 分别平分∠OAB、∠OBA，

∴OP 平分∠AOB。

∵PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K，

∴PK=PH。

∵∠PKO=∠PHO=∠HOK=90°，

∴四边形PKOH 是正方形，

∴∠HPK=∠MPF=90°，

∴∠FPK=∠MPH。∵∠PKF=∠PHM=90°，

∴△PKF ≌△PHM，∴PF=PM，∴∠PFM=45°，

∵∠BPE=180°-135°=45°，∴∠BPE=∠PFM，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO，∵∠OAB=2 ∠OAE，

图3

方法2：如图4，连接PO，作PG ⊥OP 交y 轴于G，

由第（1）问知：P 为△AOB 的内心，得∠GOP= ∠EOP =45°，

∴△GPO 为等腰直角三角形。

∴GP=OP, ∠FGP=∠MOP=45°。

∵∠FPG=∠MPO=90°-∠FPO，

∴△PGF ≌△POM，∴PF=PM，

∴△FPM 为等腰直角三角形。

∴∠MFP=∠APF=45°，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO。

（3）分析：由题知点B、T 的坐标，由垂直求S 点的坐标，也有两种方法：第一种是代数方法，求出直线BT、OS 的解析式，利用方程组即可求出交点S 的坐标。第二种是几何方法，也是利用“等腰直角+直角”模型再来构建“三垂直”模型，虽要添加辅助线，但对熟悉模型的同学来说并不难想到，也是几何里常见的方法。……