鲍 勇

(北京科技大学 天津学院，天津 301830)

0 引言

对于条件极值而言，一般的求解思路是化有条件极值为无条件极值。常见的解决方法有两种[1]：一是代入法，二是拉格朗日乘数法。第一种方法存在很大缺陷，若约束条件是隐式的，则代入法很难进行，而第二种方法则是通用的。本研究分析了求解条件极值的若干方法[2-3]，以此对高等数学教材中的一类条件极值问题进行求解[4]，并对此类问题展开进一步研究。

1 问题及其解法

条件极值问题模型：求函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值。

问题1：求抛物线y2=4x上距离直线x-y+4=0最近的点，并求其最短距离。

下面将利用三种方法求解问题1：

方法1：代入法。

从约束条件φ(x,y)=0中解出y=ψ(x)或x=φ(y)，并将结果代入目标函数z=f(x,y)，从而将二元函数的条件极值问题化为一元函数的无条件极值问题。

方法2：拉格朗日乘数法。

引入待定乘子λ，构造一个新的函数，将有条件极值问题化为无条件极值问题。

构造拉格朗日函数

方法3：几何法。

为研究平面直角坐标系中曲线上的点到直线的最短距离问题[5]，可先将其具体到平面直角坐标系中抛物线上的点到直线的最短距离问题，得到了以下两个结论：

定理1：设抛物线C∶y2=2px(p>0)到直线l∶y=kx+b(k>0)的距离为d，则：①若抛物线C与直线l相交，则最短距离dmin=0；②若抛物线C与直线l不相交，则最短距离dmin>0。

证明：将抛物线C与直线l的方程联立，有k2x2+2(kb-p)x+b2=0，①当4(kb-p)2-4k2b2≥0，即p≥2kb时，抛物线C与直线l相交，此时最短距离为交点到自身的距离，即dmin=0。②当4(kb-p)2-4k2b2<0，即p<2kb时，抛物线C与直线l不相交．此时

(1)

定理2：若抛物线C∶y2=2px(p>0)与直线l∶y=kx+b(k>0)不相交，点P为抛物线C上到直线l最短距离的点，则抛物线C上在点P处的切线必与直线l平行。

在定理1及定理2中，仅研究了抛物线C∶y2=2px与直线l∶y=kx+b方程中的参数p>0，k>0的情形。由(1)式可知，以下两种情形也是成立的：①若p>0，当p<2kb，即k,b同号时，dmin>0。②若p<0，当p>2kb，即k,b异号时，dmin>0。

2 问题的推广

在问题1中利用了几何法求解平面直角坐标系中曲线上的点到直线的最短距离问题，下面将作进一步的推广研究，即利用几何法来探讨空间直角坐标系中曲面上的点到平面的最短距离问题。

问题2：求曲面4z=3x2+3y2-2xy上的点到平面x-y-z=1的最短距离。

定理3：若曲面∑:z=f(x,y)与平面∏:Ax+By+Cz+D=0不相交，点P为曲面∑上到平面∏最短距离的点，则曲面∑上在点P处的切平面必与平面∏平行。

构造拉格朗日函数L=(Ax+By+Cz+D)2+λ(f(x,y)-z)，解方程组

可得

(2)

由问题的实际意义可知，点P(x0,y0,z0)必满足(2)式。曲面∑上在点P处的法向量为n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)，则由(2)式可知n//(A,B,C)，证毕。

下面将利用几何法和拉格朗日乘数法来求解问题2。

方法1：几何法。

方法2：拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数

L=(x-y-z-1)2+λ(3x2+3y2-2xy-4z)，解方程组

3 结语

条件极值问题有很多不同的解法，但除了拉格朗日乘数法外，其余条件极值问题的解法往往具有局限性。通过问题1和问题2的求解方法可以看出，几何法在处理此类条件极值问题时，从理解角度、计算层面来说都是简单易懂的。在遇到平面直角坐标系或空间直角坐标系中的最短距离问题时，几何法是一种可选择的计算方法，但应具体问题具体分析，把握正确的解题方向。