冉春莲 (西安交通大学苏州附属中学 215028)

1 问题提出

图1

2 问题解决

学生在课后各展所能，提出了如下的解决方案．在下一次的数学兴趣课堂中，学生讨论并比较了各个方案，得到了一致的结论．

方案1待定系数法(第一定义)

方案2待定系数法(第二定义)

方案3假设检验法(第一定义)

方案4假设检验法(第二定义)

主要运算过程与方案3类似，故不再重复，读者可自行推导．

方案5待定系数法(图象旋转)

方案6假设检验法(图象旋转)

3 结论汇总

(1)为使整个推导过程及方程(*)有意义，不必非要ab>0，事实上，只需b≠0即可．其本质，是因为a无论取何值，都不影响y=ax作渐近线，当然就更不会影响到x=0．

4 总结反思

事实上还有失败的方案，有学生试图用第三定义，亦即kPF1kPF2=e2-1来解决本题，未能成功，一度以为是猜测错误．在讨论时，学生群策群力，先确认运算过程无误，因此转为思考：kPF1kPF2=e2-1是否能推出曲线为双曲线．学生从两个方向进行了确认：一个方向是从第三定义的由来发现它依赖的不是几何本质，而是双曲线的标准方程，自然，对于非标准方程形式，这个结论就不再成立；另一个方向是根据方案5中的坐标变换公式，验证坐标旋转后kPF1kPF2是否保持不变，也很快发现错误．学生从中更好地认识了三段论：数学的逻辑推理要有正确的大前提，于本题而言就是要抓住变化中的不变量，对培养学生逻辑推理素养颇有裨益．

在几种思路中，学生接受度最高的是图象旋转，尤其青睐最后得到的方程(*)——这是学生的……