马金玲 (吉林师范大学，吉林 长春 130000)

在数学分析的学习中，我们发现数列和函数极限的形式很复杂，因此,求解极限的方法也多种多样，当然，对于不同的方法有其各自的优势及适用范围.本文通过对典型例题的探究求解，归纳总结出一些常用的求解方法，以探究数学中的技巧性，提升学生对数学知识体系的梳理能力.另外，本文旨在通过应用无穷小量、重要极限、洛必达法则等方法，在求解极限的过程中体会数学思维的转化，感受数学知识的紧密联系，构建条理清晰、逻辑严谨的数学知识框架.

一、极限的定义

数列极限的ε—N定义设{an}为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有

|an-a|<ε，

则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

函数极限的ε—δ定义设函数f在点x0的某个空心邻域U°(x0；δ′)内有定义，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数δ(<δ′)，使得当0<|x-x0|<δ时有

|f(x)-A|<ε，

则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作

二、极限的求解

1.单调有界定理

定理1在实数域中，若数列{an}单调且有界，则数列{an}一定存在极限.

注(1)在应用单调有界定理求解极限时，首先要满足数列{an}是单调数列，即满足an≤an+1(或an≥an+1)，其次要保证数列{an}有界.

(2)证{an}的单调性：

① 考察an+1-an的符号；

③ 若得到一个一元可导函数的递推公式an+1=f(an)，则可求导，然后根据f′(x)的符号来确定其单调性.

证{an}的有界性常利用数学归纳法或已知不等式推证.

归纳小结在应用单调有界定理求解数列极限时，首先要证明的是数列存在极限，也就要证明数列满足单调性和有界性.证明单调性的过程考查了学生对初等数学中数列知识的掌握，其证明方法的选用要根据具体问题而定；而在……