李长悦 (吉林师范大学，吉林 长春 130000)

一、引 言

我们在各种领域都会遇到对有限集的计数问题，而要想解决这些问题，我们需要掌握好基础知识，还需要掌握一些计算的技巧.计数问题分为一般型映射、特殊型映射、限制型映射及转化型映射等，本文主要研究一些特殊型映射的计数问题，即单射、满射、双射、函数等的计数问题.

二、基本概念

二十世纪八十年代初，代数的集合和映射的概念在中学数学教科书上已出现.在人民教育出版社1983年版的《代数(甲种本)》中可以看到有关“A到B上一一映射”的概念，它主要指的是“集合A中不同的元素在集合B中不同的象”，而且“B中的每一个元素都有原象”的映射.其实，后者正是指“一一映射”，前者则代表着“A到B上”的概念，但它并没有具体地讨论什么是“A到B上的映射”和什么是“一一映射”.

集合A到集合B的映射f:A→B，包括单射、满射、双射.单射指当x1,x2∈A，且x1≠x2时，B中元素f(x1)≠f(x2)，这种情况也被称为一一映射，也有写作1—1映射的.满射是指f(A)=B，也称A到B上的映射，或称f是映射.双射指既是单射又是满射的映射，又称“A到B上的一一映射”，或称“A与B之间的一一对应”.特别地，有A到B上的一一映射 (既是满射又是单射)，也可以有A到B内的一一映射 (不是满射的单射).所以把A到B上的一一映射 (即双射) 简称为一一映射 (通常指单射) 是不恰当的.

各种数学专业书籍，包括基础教科书和一些专著，其中提到“一一映射”或“映射是一一的”(one to one或one—one，1—1) 均指单射，而“一一对应”指的是双射.

(一)基础知识

定……