胡思哲，吕东育，姜高龙

（南京邮电大学 通信与信息工程学院， 南京 210023）

1 问题重述

2020 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）A 赛题的回焊炉设有11 个小温区、炉前区域和炉后区域，每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm 的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm[1]。附件给出某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175 ℃（小温区 1—5）、195 ℃（小温区 6）、235 ℃（小温区7）、255 ℃（小温区 8～9） 及 25 ℃（小温区 10—11）。生产车间环境温度保持25 ℃，传送带的过炉速度为70 cm/min，焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30 ℃时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。

要求通过机理分析，建立数学模型，研究分析相关条件下的焊接区域中心温度变化情况，列出小温区域中心温度，画出相应的炉温曲线；确定允许的传送带最大过炉速度和最优炉温曲线；确定各温区的设定温度和传送带的过炉速度。

2 基于微分方程的热传导模型

2.1 确定热传导方程

热力学定律——傅里叶定律指出[2]：单位时间通过给定截面的热量与该截面垂直方向上的温度变化率和横截面积成正比，并且传递方向与温度升高方向正好相反。假设回焊炉内的传热方式以一维热传导为主，结合傅里叶热传导定律[3]和能量守恒定律，可得到热传导方程：

其中：u=u（t，x）为 t 时刻 x 坐标处的温度；c 为比热容，ρ 为密度，k 为热传导率。

2.2 确定回焊炉温度分布

根据回焊炉内各区域的长度结构和恒温情况，可确定各恒温区横向端点的坐标d0～d11依次为：0，15，25，197.5，202.5，233，238，268.5，273.5，339.5，344.5，435.5，单位为 cm。dr处的温度记为ur（r=0，1，2，…，11）。……