赵秀芹

(江苏省沭阳高级中学 223600)

高中阶段是学生思维发展的关键时期.数学知识之间往往存在着一定的逻辑性，且具有高度的抽象性，这对学生对数学知识体系的理解带来了较多的阻碍.高中学生必须要具备较高水平的逻辑思维能力以及逆向思维应用意识与能力，进而才能帮助学生在数学学习活动中不断完善自身的数学思维能力，并借助逆向思维的应用来提高解决问题的能力.因此，高中数学教师必须重视学生逆向思维能力的培养，为改善其数学思维、促进数学素养的形成提供保障.

一、基于数学概念教学，培养学生逆向思维意识

高中数学教师在概念教学时多以讲授方式为主，此类传统式的教学既会降低学生对数学概念、数学理念知识理解效率，还会影响到学生数学思维、数学素养的形成.同时，学生数学学习时，其会在长期的数学知识学习、理解以及解决数学问题过程中逐步形成自己的定势思维方式，一旦某些条件、概念发生变化时，学生仍会采用原有的定势思维方式来解决数学问题，这既会影响学生概念理解质量、解题能力与效率，还会阻碍学生数学素养的形成.若学生具备了良好的逆向思维能力则会有效改善、提升学生解决问题能力.因此，数学教师应在教学中有意识、有针对性地培养学生的逆向思维能力，使学生具备良好的逆向思维意识与能力，进而达到提高其数学“学”、“践”能力，并对促进学生数学素养的形成与发展奠定基础.

在高中数学概念中存在着大量的“相反性”的数学概念，而在此类概念教学中，教师则可以引导学生基于“正向性”的数学概念采用逆向思维方式进行思考与学习，使学生能够进行逆向思考与分析，以培养学生能够从不同角度、逆向进行深度学习，以提高学生对“相反性”数学概念的理解.如在《反函数》概念教学时，教师可以引导学生基于“函数”概念的基础上进行逆向思维，在逆向思维的过程中将“正、反函数”的图像、概念进行对比，找出两者不同点，这对加速、加深学生对‘反函数’概念的理解具有积极的作用，同时，也达到了培养学生逆向思维的目的.再如，教师在《映射》概念教学时，教师也可以开展逆向思维训练.教师可以将“A→B”概念作为“集合A→集合B”的映射，并鼓励学生甄别、找出集合A、集合B中各个元素间存在着哪些对应关系.当学生完成自主思考后，教师可利用逆向思维训练法引导学生进行逆向思考：假设集合A中不存在其他剩余元素，且各个元素均与集合B中的元素对应，且有唯一的象，此时，集合B中剩余元素没有在集合A中发现相对应的原像，进而得出：一对一、多对一的结论.此类逆向思维的教学与训练，既可以强化学生对“映射”概念的理解，还可以培养学生逆向思维的应用意识与能力，同时，也能够提升学生解决数学问题的灵活性，为改善学生思维方式、解决问题能力奠定基础.

二、基于公式活用教学，培养逆向思维应用能力

数学公式是解决数学问题的重要基础.因此，学生必须要熟悉、理解相应的数学公式，并能够灵活运用数学公式，进而才能提高学生解题能力与效率.由于数学公式具有极高的抽象性，学生在数学公式的应用时必须要具备正向理解与应用公式的能力，还要掌握逆向应用公式的能力，进而才能促使学生在解题过程中能够通过逆向思维来灵活运用公式，促使学生在活用公式的过程中潜移默化地提高了自己的逆向思维应用能力，为促进其数学思维、数学素养的形成提供保障.

如在“升幂公式”、“余弦变正弦公式”等基础公式的应用中，教师可以鼓励、引导学生对上述公式逆向推导，并得出“降幂公式”、“正弦变余弦公式”，此类公式的逆向推导，既可以强化学生对上述公式的理解与应用能力，还可以达到对学生逆向思维应用意识与能力的锻炼目的.另外，教师也要结合相应的数学公式开展逆向思维的应用训练，以培养、改善学生逆向思维应用意识.再如，教师可以借助习题来培养、训练学生公式逆用的能力与技巧，如题：cosθ=3/4，那么sin4θ+cos4θ的值是多少？”该习题，可以采用正向思维方式进行解答，即将所求条件进行公式变化得出：(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-1/2sin22θ，并算出结果.同时，教师可以鼓励学生利用逆向思维进行思考，即利用二倍角公式进行转换，并利用sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ公式计算出最终结果.该方法的应用，则是通过关注已知条件的转换及相关公式后，再代入数值即可.学生在上述逆向思维的学习与锻炼过程中不断改善、提升自身逆向思维在解题应用中的能力与灵活性，最终为提高解题能力提供了保障.

三、基于解题训练教学，提升逆向思维应用技巧

通常情况下，学生在解题时多会采用定势思维方式，并运用正向解题方法进行解题.因此，数学教师在课堂教学(或是习题解析)中培养学生逆向思维时，不要停留在课堂的讲授活动中，而是要通过各类数学解题实践来改善、培养、提升学生逆向思维运用意识与技巧，使之能够逐步形成“正难则反”意识，在具体的解题时进行正、逆思维的灵活应用，这对发展学生数学思维与核心素养、培养其逆向思维能力等均具促进作用.

如方程(b+2)x2-8x+b=0中，b为何值时，该方程的根至少有一个是正实数.学生在解题时，若运用正向思维则解题过程复杂，也易导致学生出现一些不必要的错误；若学生运用逆向思维解题时，教师只需引导学生考虑：“在何种情况下，a会存在两个负根的可能性”，以此来降低该习题的难度，使学生能够顺利得出正确的结果.另外，教师还可以借助反证法来培养学生逆向思维能力、提升其利用逆向思维解决问题的技巧.反证法就是要引导学生假设想要证明的结论是错误的、不成立的，并运用数学逻辑思维、既有数学知识推导出相反的结论.教师在指导学生利用反证法进行解题时，要针将原命题提出的问题改为逆否命题，将其作为自己的解题思路，利用相应的公式、定理进行推理，得出该命题是否具有正确的逻辑性，并判断出该命题是否成立.反证法的应用，既可以有效改善、提升学生逆向思维能力，还会在学生解题实践中逐步养成逆向思维的良好习惯，并在各种解题、习题纠错或是习题解析活动中不断进行自我反思，为提升自身逆向思维应用技巧奠定基础.如题：“已知一个整数的平方是偶数，求证该整数也是一个偶数.”在解题时，教师可让学生尝试利用正向思维解题，当学生遇到困难或是无法解决该题时，则可引导其利用反证法进行解决.首先，可“假设整数为奇数”，即设定该整数为“2k+1，且k∈Z”，学生则会得出解题思路：(2k+1)2=4k2+4k=1.此时，学生可以准确判断该结果是非偶数，得出该假设不成立的正确结果.再如习题：a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求证a>0、b>0、c>0.解题时，教师仍可以先让学生尝试运用正向思维法进行解题，学生在正向解题时往往无法找到解题的切入口，且出现思维混乱、无序等问题.因此，教师可以鼓励学生利用反证法进行解题，即假设该结论的反向是对的，并基于现有的已知条件、相关定理完成相应的推理工作.此时，学生会得到一个与事实相违的结论.这就说明：“原结论的假设不成立”反而言之，原结论是正确的、成立的，进而提高了学生解题效率.此类利用解题教学培养逆向思维的策略，既可以达到培养学生逆向思维的目的，还可以有效改善、提高学生解决问题能力.

高中数学教师在教学实践中必须要重视学生逆向思维的重要性及其在数学学习与实践的应用价值，同时还要帮助学生认识到逆向思维与正向思维整合应用的重要性.因此，教师在概念教学、公式教学、解题练习或是错题纠错等教学活动中均应合理地融入相应的逆向思维训练内容，帮助学生能够在数学学习、解题或是其他实践应用活动中不断进行逆向思维的锻炼，使学生能够在数学“学”、“践”过程中不断提高自身逆向思维的应用意识与能力，为改善、提升其数学素养提供保障.