王腾辉，袭萌萌，刘海波，王永青

(大连理工大学精密与特种加工教育部重点实验室，辽宁 大连 116024)

0 引言

在机测量是将测量传感器集成于数控加工装备、在机获取加工过程中零件几何信息的测量方式，已成为航空航天、精密物理实验等领域高性能零件精密加工质量控制的重要工艺环节。以复杂弱刚性零件为例，如火箭喷管、飞机壁板等，其最终精加工面形需依据在机测量获得的零件实际状态反馈。因此，在机测量结果的可信程度将直接影响零件加工质量的一致性和稳定性，要求合理评定在机测量的不确定度。而静态测量评定逻辑的常规处理办法无法有效解决此难题。

对在机测量进行测量不确定度精确评定，须将不确定度评定引入在机测量系统，进行在机测量状态下的不确定度评定。在机测量系统结构复杂，测量过程伴随着机械振动、运动系统误差、环境噪声以及环境温度变化等影响因素，仅主要不确定度源就多达几十个，且其间的传递关系难以准确量化。面向在机测量的动态测量不确定度评定不仅采样难度大，计算繁琐，且缺乏相关的系统性理论指导方法，难以实现在机测量测量不确定度评定。

为此，开展面向在机测量的动态测量不确定度分析与评估研究，设计可行的量化评定框架，具有重要的工程应用价值。

1 典型在机测量系统

典型在机测量系统如图1所示,测量传感器集成于机床末端。在机测量涉及三个参考坐标系，分别是机床坐标系{OM:XM,YM,ZM}，工件坐标系{OW:XW,YS,ZS}和传感器坐标系{OS:XS,YS,ZS}。在扫描测量过程中，传感器的测量运动被约束在一组数字化平面内。

图1 典型在机测量系统

扫描测量重点坐标提取是将曲面上的测点从传感器坐标系CS变换到机床坐标系CM的过程，其基本转变关系模型为：

(1)

由此可以看出，在机测量不确定度主要来源于如下几个方面：①测量驱动系统引入的误差。如机床定位误差、重复定位误差、结构振动导致的动态误差。②数据采集系统引入的误差。如测量传感误差、数据采集误差、数据修约误差等。③测量环境引入的误差。如温度、湿度、气压、噪声等引起的误差。

2 测量不确定度评定策略与建模

为避免囿于在机测量的繁杂不确定度溯源，将在机测量系统视为黑箱，系统各因素对测量不确定度的影响直接反应到测量结果，利用结果的量值特性指标确定不确定度分量。面向在机测量的动态测量不确定度评定的总体策略为：分析不确定度来源或分量；规划样本集并采集样本数据；基于极大似然估计对各分量样本数据进行分布拟合，得到各不确定度分量的概率密度函数；建立面向在机测量的动态测量不确定度评定数学模型；基于自适应MCM法进行不确定度的传递和合成，完成不确定度评定。

2.1 在机测量不确定度分量分析

利用量值特性指标反映在机测量系统的计量特性，将测量结果的量值统计特性作为不确定度的主要来源，可以评价不同误差引入的不确定度分量。面向在机测量的动态测量不确定度评定，主要考虑重复性测量、复现性测量、环境温度变化和数据修约引入的不确定度分量。重复性和复现性都是测量系统不确定度分析的重要量值特性指标，两者关系如图2所示。重复性指在相同的测量条件下，对同一被测量所做连续多次测量结果之间的一致性，其主要来源于在机测量系统的各种随机效应；复现性指在一种或多种测量条件改变时，同一被测量的各测量结果间的一致性，其主要来源于在机测量系统的系统效应；温度变化将引起被测件和测量系统硬件结构的尺寸变化，进而影响测量结果的分散性，若复现性测量时未考虑环境温度变化带来的影响，则需要将环境温度变化带来的影响单独考虑；数据修约引入的不确定度分量主要来源于测量数据圆整误差。

图2 重复性与复现性示意图

2.2 数据样本规划

当面向任务进行测量不确定度评定时，样本集的点位规划应尽可能反映被测对象的形貌；当面向在机测量系统进行测量不确定度评定时，样本集的点位规划应尽可能反映可测空间或指定空间的全域。为此，为面向在机测量的动态测量不确定度评定设计了网格点阵式和正交连续式两种数据样本集；并提出了同步测量采样方法。

(1)网格点阵式样本集

依据在机测量范围合理划定立方区域(图3a中的立方区域所示)，在机床笛卡尔坐标系下进行三维网格等分，把网格交叉节点(图3a中六角星所示)作为测量点位，形成网格点阵式样本集。通过对同一点位的重复测量可以得到重复性测量不确定度分量样本集；对不同点位间的依次测量可以得到复现性测量不确定度分量样本集；在不同环境温度下对同一点位进行连续测量，可以得到环境温度数据及其对应位移测量数据样本集。同理，对于柱形空间可采用柱坐标网格等分，对于球形空间可采用球坐标网格等分。

(2)正交连续式样本集

对于选定立方区域(图3b中的立方区域所示)，沿与机床坐标系平行的三个正交方向进行划分，沿正交方向进行往复式运动(图3b双向箭头所示)状态下的连续测量，可以得到复现性测量不确定度分量样本集；对三维正交点进行重复测量，可以得到重复性测量不确定度分量样本集；在不同环境温度下对三维正交点进行连续测量，可以得到环境温度数据及其对应位移测量数据样本集。

(a) 网格点阵式 (b) 正交连续式图3 样本集

为获取在机动态测量的样本集各点位的样本数据，测量单元需在CNC运动单元的带动下移动至各点位进行采样，测量过程中将待测标准单元(如标准球)与测量单元保持同步状态。测量单元和待测标准单元可以在对各误差源正常响应的情况下摒弃无关干扰对采样带来的影响，保证测量结果具有统计意义。

对于网格点阵式样本集的采样，要想获取复现性测量不确定度分量样本集，就需要对各网格点阵的节点(待测点位)进行测量。用机床坐标保证测量单元与待测单元同步运动到这些待测点位，依次进行各点位的采样。对于正交连续式样本集的采样，用机床坐标保证待测单元和测量单元沿三个维度的正交方向(图3b双向箭头所示)进行同步往复式运动状态下的连续采样。

2.3 在机测量不确定度评定建模

对各分量Y1,Y2,···,YN的样本集数据(如1.2节中的重复性测量样本集、复现性测量样本集、温度变化影响样本集等数据)进行分布拟合，按照极大似然估计原则找出其最佳拟合分布，确定其概率密度函数gYi(ξi)。针对各不确定度分量Y1,Y2,···,YN对测量不确定度Y的影响，建立Y与Y1,Y2,···,YN间的模型。

Y=H(Y1，Y2，…,YN)

(2)

Y1,Y2,···,YN常见的概率密度函数类型有高斯分布、矩形分布、三角分布、指数分布、梯形分布、t分布、U形分布等，面向在机测量的动态测量不确定度评定还会遇到双峰形分布或非对称分布，如Burr分布、广义极值分布、Γ分布、F分布、Weibull分布等，则式(2)可进一步表示为：

(3)

基于自适应MCM进行不确定的传递合成[13]，完成Y1,Y2,···,YN到Y的传递及数值运算。从Yi的概率密度函数gYi(ξi)中抽取随机数样本值yi，r(i=1，2，···,N；r=1,2,···,M)，其中M为：

(4)

对每个样本向量(y1,r,y2,r,···,yN,r)，通过传递函数H可计算相应Y的模型值：

yr=H(y1,r,y2,r,···,yN,r),r=1,2,···,M

(5)

(6)

式中，

(7)

(8)

利用获得的h×M个离散模型值，按严格递增次序排序，对其归一化处理得到Y的分布函数GY(η)的离散表示G，计算出估计值y、不确定度u(y)：

(9)

(10)

利用GY(η)的统计直方图计算出概率p下的包含区间[yleft,yright]，完成基于自适应MCM的输出，实现对在机测量的动态测量不确定度评定。自适应蒙特卡洛法如图4所示。

图4 自适应蒙特卡洛法

3 测量不确定度评定实验验证

图5 在机测量系统

基于HMC500S2型镜像对称式运动平台，选用米依光谱共焦位移传感器、ZEISS标准球和四轴Micro-Block位移台等搭建在机测量系统(图5)，该系统主辅两侧各具有3个正交运动自由度，测量系统集成在主侧、待测单元集成在辅侧。进行动态测量不确定度评定实验，实现面向在机测量的动态测量不确定度评定方法和策略的验证。

3.1 样本采集及数据拟合

3.1.1 重复性测量不确定度分量

选择固定点位进行重复性测量；按照极大似然估计原则进行分量分布拟合，各拟合分布的对数似然估计值见表1，得到其最佳拟合分布为广义极值分布。

表1 不同分布拟合及其对应的对数似然估计值

重复性测量不确定度分量分布直方图及其广义极值分布拟合概率密度函数见图6。

图6 重复性测量不确定度分量分布直方图 及其广义极值分布拟合概率密度函数

均值E=0.493 404，方差V=0.244 243×10-6，其概率密度函数满足式(11)，位置参数k=-0.128 033、尺度参数σ=0.443 345×10-3和形状参数μ=0.493 199。

(11)

3.1.2 复现性测量不确定度分量

(1)网格点阵式样本集

选定区域及测量点位规划如图7所示，其中六角形为复现性测量的网格点阵式样本集规划点位，共72个点位。

图7 测量点位规划

对每个测量点位选取4 000个测量值求取均值作为该点位复现性量值，按式(12)计算不同点位的量值。

(12)

由图8可知，不同点位量值具有明显分散性，主要因为在机测量系统的定位误差和重复定位误差等。

图8 72个测量点位数据均值散点及平滑线图

按照极大似然估计原则对网格点阵式样本集复现性测量数据进行分布拟合，各拟合分布的对数似然估计值见表1，其最佳拟合分布为广义极值分布，均值E=0.477 421，方差V=0.343 284×10-3，其概率密度函数(PDF)满足式(10)，位置参数k=-0.592 799、尺度参数σ=0.020 177 3和形状参数μ=0.473 770。网格点阵式样本集复现性测量分布直方图及其广义极值分布拟合概率密度函数见图9。

图9 网格点阵式样本集复现性测量分布直方图 及其广义极值分布拟合概率密度函数

(2)正交连续式样本集

在测量单元与待测标准球同步运动状态下进行三个维度正交方向上的往复循环式动态测量，测量路径及范围如图10所示。

图10 正交连续式样本集动态复现性测量路径及范围

从图11可以看出，受各直线轴定位误差、重复定位误差、安装误差以及机床运动状态下的震动等因素的影响，传感器示值随着机床的往复式运动出现规律性波动。

图11 在机动态测量

对正交连续式样本集复现性测量数据按照极大似然估计原则进行分布拟合，各拟合分布的直方图及其Burr拟合分布概率密度函数见图12。

图12 正交连续式样本集复现性测量量值分布 直方图及其Burr拟合分布概率密度函数

均值E=0.493 381，方差V=0.728 734×10-6，其概率密度函数满足式(13)，形状参数c=80.730 400和位置参数k=3.469 360，尺度参数α=-0.503 618。

(13)

3.1.3 环境温度不确定度分量

在连续24 h不同环境温度下，对同一点位进行测量数据和温度数据采集，通过多项式拟合找出环境温度变化对测量结果的影响规律，多项式拟合得到：

Y温度=-0.013 840×T+0.567 500

(14)

可见传感器量值与环境温度量值呈现明显的负线性关系，影响系数τ=-0.013 840 mm/℃。因此，环境温度带来的不确定度分量可采用矩形分布参与后续运算。

(15)

其中，a、b依据评定实时温度求解，当在机测量系统实时环境温度为5 ℃～10 ℃时，a=0.429 100和b=0.498 300。

3.1.4 数据修约引入的不确定度分量

因测量数据保留6位有效数字，数据修约引入的不确定度分量为满足式(15)的矩形分布，其中a=-0.5×10-6，b=0.5×10-6。

3.2 评定模型

考虑到主要不确定度分量为重复性测量、复现性测量、温度变化和数据修约4个方面引起，故以这4项分量作为考虑对象建立测量不确定度评定模型，由于各分量不具有相关性，可以采用算术叠加进行合成，数学模型为：

(16)

该在机测量系统实际使用时环境温度在5 ℃～10 ℃变化来考虑对不确定度的影响。则网格点阵式样本集的测量不确定度评定数学模型为：

Y=

(17)

正交连续式样本集的测量不确定度评定数学模型为：

Y=

(18)

3.3 不确定度传递及合成

基于自适应MCM完成MATLAB编程，依式(17)、式(18)数学模型生成随机数序列，进行不确定度传递，并进行自适应迭代运算，当满足式(8)时，运算达到稳定，依式(9)、式(10)等进行运算求得估计值、不确定度和包含区间。

通过图13可以看出，输出量为偏态分布(左偏态)或近似三角分布。进行了5.7×106次MCM试验，输出量均值为0.461 6，不确定度为0.027 2，在95%包含概率下的包含区间为[0.410 9，0.513 4]。

通过图14可以看出：输出量为偏态分布(左偏态)或近似曲边梯形分布。进行了2.11×106次MCM试验，输出量均值为0.461 6，不确定度为0.021 7，在95%包含概率下的包含区间为[0.423 9, 0.500 7]。

图13 网格点阵式样本集测量不确定度输出量概率密度函数 图14 正交连续式样本集测量不确定度输出量概率密度函数

4 结 论

文章研究并提出了面向在机测量的动态测量不确定度分析及评定策略，为面向在机测量的动态测量不确定度评定提供了可行方案。

(1)融合黑箱理论并引入量值特性分析方法进行不确定度分析，确定了不确定度主要分量，有效避免了对不确定度分量的遗漏和重复考虑，便于对各不确定度分量进行量化，提升了不确定度分析于在机测量中的可靠性和适用性。

(2)提出了网格点阵式样本集和正交连续式样本集两种样本集规划方法，样本集的点位规划可以反映可测空间或指定空间的全域。提出了待测单元与测量单元同步运动采样方法，实现了在机测量状态下的合理有效采样。

(3)厘清并解决了评定运算时的具体问题，包括：提出按照极大似然估计原则对采样数据进行拟合，得到各分量的分布规律及概率密度函数；建立了面向在机测量的动态测量不确定度评定数学模型；基于自适应MCM实现在机测量不确定度的传递合成。

(4)开展了面向在机测量的动态测量不确定度评定实验，验证了所提出评定方法与策略的可行性。