山东省宁阳复圣中学 (271400) 张志刚

同构，在抽象代数中指一个保持结构的双射,在高中阶段则表示结构或形式相同.在很多不等式问题中，经过同构变形使不等式两侧呈现相同结构，然后构造函数，结合复合函数的单调性，将不等式蕴含的特征与属性清晰明朗地呈现出来，可解决求参数的取值范围、零点的个数、证明不等式等问题，此种解法不妨称为同构法.例如,若F(x)≤0能等价变形为f[g(x)]≤f[h(x)]，然后利用外层函数f(x)的单调性，转化为g(x)≤h(x)或g(x)≥h(x).例如：

(2020年全国Ⅰ卷理科第12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：由于2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b)，设f(x)=2x+log2x,则f(a)

策略一：借助移项、四则运算等同构变形

对于较为简单的多项式函数，可根据题设条件，通过移项、四则运算等变形，直至不等式两侧呈现相同的结构，之后引进新函数，利用函数的单调性解决问题.

例1 (2020年全国Ⅱ卷理科第11题)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解：由题意得2x-3-x<2y-3-y.设f(x)=2x-3-x，则f(x)1，ln(y-x+1)>0.选A.

点评：例2中通过对已知不等式变形，使不等式两边结构相同，适时引入函数g(x)，进而将问题转化为不等式g′(x)≥0恒成立问题，通过分离参数可轻松获解.

策略二：借助取对数运算同构变形

数据处理中，我们经常对原始数据取对数，然后再作出处理.依据主要有二，一是通过取对数可以大幅压缩数据的绝对数值,数据更趋平稳.本质上是：当x的取值很大时，对数函数变化速度非常缓慢；二是通过取对数降低运算的维度.由于logaMn=nlogaM，loga(M·N)=logaM+logaN，a>0，a≠1，M>0,N>0取对数后，乘方运算转化成了乘法计算，乘法运算则转化成了加法计算.对于两边均是指数型不等式，可考虑通过取对数，将指数问题转化为对数问题……