张琴

摘要：推理能力的发展不是一蹴而就的，而是一个长期的、循序渐进的过程。教学中，教师要把推理能力的培养渗透到学生数学学习的各个阶段。具体来说，可以在知识的形成过程中发展归纳推理能力，在知识的联系过程中发展类比推理能力，在知识的应用过程中发展演绎推理能力。

关键词：推理能力 知识形成 知识联系 知识应用

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“推理能力”作为核心概念之一。

推理一般包括合情推理和演绎推理：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理的功能相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。

推理能力的发展不是一蹴而就的，而是一个长期的、循序渐进的过程。因而，教学中，教师要把培养推理能力渗透到学生数学学习的各個阶段，应特别注意引导学生经历知识的形成过程、联系过程、应用过程，从而提高推理能力。

一、在知识的形成过程中发展归纳推理能力

数学知识具有抽象性和一般化的特征，它通常（或者说最初）来源（形成）于具体的、特殊的事实或现象。因此，教师要引导学生对具体的、特殊的事实或现象进行分析和抽象，去除其物理的、非本质的属性，揭示其数学的、本质的属性，即数和形方面的一般规律。而这一知识形成的过程，是学生思维从具体走向抽象、从特殊走向一般的过程，也是其归纳推理能力发展的过程。

例如，教学“小数的认识”，教师引导学生从具体、特殊的例子入手，经过有层次的、有梯度的归纳与提升，获得抽象的、一般的数学知识——

师如果用一个长方形表示1元，那么怎么表示0.1元呢？

生把长方形平均分成10份，其中的1份就是0.1元。

师（出示图1）看到这个图，你还能想到什么数？

图1

生我还想到了1/10。

生我发现1/10元=0.1元。

师如果涂其中的3份呢，我们可以得到怎样的式子？

生3/10元=0.3元。

师如果涂其中的9份呢？

生9/10元=0.9元。

师观察这三道算式，你有什么发现？

生十分之几元都可以写成零点几元。

师如果把这个长方形压缩，这就好像一把——

生尺子。

师你能在这把尺子上画一画，写出像前面一样的式子吗？

生1/10米=0.1米。

生5/10米=0.5米。

……

师由这几道算式，你又有怎样的发现？

生十分之几米都可以写成零点几米。

师再把这个长方形压缩，发现什么了？

生一条线段。

师如果把这条线段也平均分成10份，你想表示怎样的算式，又能发现什么？

生1/10=0.1，2/10=0.2，4/10=0.4，…，我发现，十分之几都可以写成零点几。

上述教学中，有三个层次的归纳。前两个层次是借助生活情境对十分之几元可以写成零点几元、十分之几米可以写成零点几米的归纳;不同的是，相对而言，第二层次比第一层次更具一般性，第一层次中的数是离散的，第二层次中的数是连续的。第三层次则是对前两个层次归纳的“再抽象”，即去除量的特征，进一步聚焦数，这种归纳真正抵达了“数学的高度”。

二、在知识的联系过程中发展类比推理能力

不同领域的数学内容之间往往也会有内在的关联。因此，教师不能通过“切片”的方式机械地教学，而要关注知识的联系，引导学生比较和联想，完善认知结构。而这一知识联系的过程，是学生思维由此及彼、举一反三的过程，也即类比推理能力发展的过程。

例如，教学“圆锥的体积”，教师引导学生利用知识间的联系，展开类比推理——

师我们怎么通过图形的运动得到一个圆柱和圆锥呢？

生以长方形的任意一条边为轴，旋转一周就可以得到一个圆柱，以直角三角形的任意一条直角边为轴，旋转一周就可以得到一个圆锥。

生如果以长为轴旋转，圆柱的底面半径和高分别等于长方形的宽和长;如果以宽为轴旋转，圆柱的底面半径和高分别等于长方形的长和宽。

师考虑得真细致！

生圆锥的底面半径和高分别等于三角形的底和高。

师这里有一个长方形和一个直角三角形，你有什么发现？

生长方形的长和宽分别等于直角三角形的高和底。

师长方形和直角三角形的面积有什么关系呢？

生直角三角形的面积等于长方形的面积的1/2。

师（分别以长方形的长和直角三角形的高为轴旋转得到圆柱和圆锥）想一想，圆柱和圆锥之间有什么联系？

生圆柱和圆锥等底等高。

师猜想一下，等底等高的圆柱和圆锥体积有怎样的关系？

生我觉得圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的1/2。

生我觉得圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的1/3。

生我觉得圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的1/4。

……

师到底是多少，我们不妨用等底等高的圆柱和圆锥来做个实验。

（学生用手中的材料做实验，验证自己的猜想。）

教学“圆锥的体积”，教师通常会直接提供等底等高的圆柱和圆锥，让学生进行倒沙或倒水的实验，最终得出圆锥的体积计算公式。因此，对于用等底等高的圆柱和圆锥做实验，学生往往会有“从帽子里跑出一个兔子”一般的惊奇感。上述教学中，教师很好地运用了知识间的联系，发展了学生的类比推理能力：从圆柱与长方形、圆锥与三角形的关系出发，由长方形面积和三角形面积的关系，类比推理圆柱体积和圆锥体积的关系。这样，自然、合理地引入了等底等高的圆柱和圆锥的实验。

三、在知识的应用过程中发展演绎推理能力

知识应用是利用知识（概念、定理、等式等）解决问题的过程。显然，这一过程通常是从抽象走向具体、从一般走向特殊的演绎推理过程。一方面，教师要精心设计问题，可以设置判断题、说理题、探究题、证明题等，引导学生利用演绎推理解决问题;另一方面，教师还要指导学生演绎推理的方法，不仅要言之有据，还要言之有理，进而言之有序。

虽然小学数学并不强调演绎推理，但是在很多内容的教学中都可以设置演绎推理的相关问题。

例如，教学“3的倍数特征”，教师可设置这样一道题目：举例想一想，连续三个偶数的和是几的倍数？为什么？学生不仅能举出“2+4+6=12，是3的倍数;98+100+102=300，也是3的倍数”这样的例子，归纳得到结论，而且能开展演绎推理的证明：假设中间数为a，则另外两数分别为a-2、a+2，三个数的和是a-2+a+a+2=3a，显然，3a是3的倍数。

再如，教学“三角形的三边关系”，教师可设置这样一道题：一个等腰三角形的周长是40厘米，较长边是较短边的2倍，它的腰和底分别是多少厘米？此题符合条件的答案只有一种，但是有学生给出了“腰是10厘米，底是20厘米”的错误答案，于是其他学生反驳：因为三角形任意两边之和大于第三边，而10+10=20，两边之和不大于第三边，所以这三条边不能围成三角形，这个答案错误。这就是非常典型的演绎推理。

又如，教学“平均数”，教师可设置这样一道题：小明班数学考试的平均分是92，小华班数学考试的平均分是90，小明的分数一定比小华高吗？请说明理由。充分思考后，学生这样表达：小明班数学考试的平均分是92，小明的分数有可能比92低，比如82;小华班数学考试的平均分是90，小华的分数有可能比90高，比如100，按照这样的假设，小明的分数就比小华低。这其实就是从平均数定义出发的一种演绎推理——尽管不那么严谨。

最后，需要指出的是，以上数学学习的三个阶段与三种推理形式之间的对应关系并不绝对，有时甚至是为了叙述的方便。事实上，在数学学习的各个阶段，各种推理形式不是单独出现的，而是表现出综合性和交替性。