黄雪林 徐建东 孙四周

摘要：根据现象教学的原则，用于学习的素材必须是真实的，学生的思考也必须是真实的、自然的。现象教学下的《正弦函数的图象与性质》一课，没有设置奇特的问题情境，而是让学生直接面对问题本身——运动过程中的变量及其关系;而启动思维的“问题”，则由学生自己发现并提出。这节课表明，现象教学完全可以进入常规课堂，即便一道数学题也可以用现象教学的观念实施教学。

关键词：现象教学 《正弦函数的图象与性质》 学习素材

一、教学分析

（一）设计思路

在本节课之前，学生已经学习了指数函数、对数函数和幂函数，掌握了这些函数的性质以及从图象研究函数性质的方法。所以，本节课的学习，先要把这些知识和方法迁移过来，在研究完正弦函数以后再返回去加以整合，实现知识和方法的结构化。

根据现象教学的原则，用于学习的素材必须是真实的，学生的思考也必须是真实的、自然的。因此，本课没有设置奇特的问题情境，而是让学生直接面对问题本身——运动过程中的变量及其关系;而启动思维的“问题”，则由学生自己发现并提出。爱因斯坦曾说过：“提出问题比解决问题更重要。”问题意识也是核心素养教育所重视的。

（二）学情分析

笔者授课班级的学生一共50人。学生思维比较活跃，接受新知识的能力和归纳能力都比较好，熟悉多媒体，会使用科学计算器，可以利用“几何画板”软件开展猜想、验证、证明等探究活动。课堂上，可以放手让学生由单位圆中动点的变化现象（生活现象）入手，在抽象出正弦函数以后，再把正弦函数当作一种现象（数学现象）加以研究。

通过本节课的学习，学生应该获得如下的发展：能够理解正弦函数图象形成的本质属性，并归纳出“五点法”作图法;利用正弦函数图象理解正弦函数的性质，尤其是理解正弦函数是描述“周而复始”现象的数学模型;积累数学活动经验，能够应用正弦函数性质解決简单的数学问题。

二、教学过程

（一）以点的运动生成正弦函数

师（投影单位圆和其上一点P，如图1）现在有一个点P在单位圆上运动。请伸出你的手，模拟它的运动，多转几圈。

（学生的手指在空中转圈。）

师在点P运动的过程中，有很多量也在变化。你能说出一些吗？

生弧长AP在变，点P的高度在变，点P到x轴的距离……

（教师提示：P点的纵坐标。）

生点P到y轴的距离（横坐标），点P到原点的距离，（有学生笑）点P到任何一个定点的距离，都在变。

师在这个变化的世界里，我们能发现无数的变化量。

生是的。

师但所有的变化都起因于——

生P点的运动。

师是的，P点的变化带动了所有这些变化，似乎P点能确定所有这些变量。

生是的。

师这里有什么数学问题吗？

生有函数。

师函数？在哪里？请你说出一个来。

[思考：这时，学生有清晰的函数“感觉”，表达却有困难，因为不会选取“自变量”。而这，是建立函数关系的基础。]

师所谓函数，就是在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x的任意一个值，y都有唯一确定的值与之对应。所以，（师生齐说）要写函数必须把自变量写出来，用它来表示因变量。

师是不是可以选点P当自变量？

生不可以，自变量必须是个实数，不能是点。

师那么，该选谁呢？

生角。

师说得好！用角来刻画一个旋转量，太方便了。再看，设哪个角为自变量？

生以x轴正方向为始边，OP为终边形成的角，把它的弧度数记为x。

师一旦角x定了，其他那些量也都——（师生齐说）唯一确定！

师我们来写几个函数关系。弧长是——（生答“y=x”）P点纵坐标是——（生答“y=sinx”）P点横坐标是——（生答“y=cosx”）P点到圆心O的距离是——（生答“y=1”）。

[思考：在回答最后一个函数关系，即P点到圆心O的距离时，学生犹豫了一下，因为这个距离恒等于1，它不是变量。经过一番纠结，他们才明白，这也是函数，即常函数y=1。学生以前没有见过“真实的”常函数，教师举出的例子都是人为给定的，刚才感觉“好笑”的学生改变了对常函数的看法——这是个意外收获。]

（二）在活动之中生成真知

师当我们把一种现象用函数刻画以后，它就进入了数学的范畴。在数学上，我们一般要研究函数的哪些内容？

生定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性……

师你准备怎么研究？

生画函数的图象。

师现在我们来看这些函数中的一个。先看哪一个？

[思考：让学生选择，意在增强他们的参与意识、主体意识。自己选择的，情感上最认同，研究起来也最有热情。其实，选择哪个函数，教师有绝对的主导权。最后教师“帮他们”定下一个。]

师先研究正弦函数y=sinx。在正式研究之前，我们先来做一个大致的预估。当角的弧度数x变化时，sinx是怎么变的？伸出你的手，在空中比画一下。

（学生用手指头代表点在空中转圈，感受sinx值的周而复始变化：高→低→高→低……）

师大家都在比画一个圆周运动，那么这个圆是不是正弦函数的图象？

生圆不可能是函数图象，一个x值对应两个y值，不可能的。

师那么，函数图象应该是——

（学生用手做向右的运动，但还不太清楚，因而犹犹豫豫。）

师函数中有两个变量，自变量x怎么体现？（学生手指向右做直线运动）函数值y怎么体现？（学生手指上下运动）综合起来怎么体现？

（师生共同活动：先体现x的变化，用右手的食指做水平运动;再体现y的变化，手指做上下竖直运动;最后再综合起来，体现x变化时y随之产生的变化，手指向右的同时也进行上下的运动，在空中形成波动曲线。）

[思考：至此，正弦函数的大致图象正式呈现在眼前，下面需要做的就是用数学的图形语言精确表达。这对于学生来说，是个不太复杂的技术活。因为学生已经有了对图象的整体认识，而且非常清晰，“示意图”已在心里，怎么表达就只是方法选择的问题。学生有多种作图方法可以使用：可用坐标描点作图，可用尺规平移作图，还可用更简便的“五点法”作图等。相较于上面的意义生成，并不特别强调作图能力的重要性。]

1.探究活动一。

师现在请同学们拿出纸和笔，画正弦函数y=sinx的图象。

（学生绘制正弦函数图象，熟悉和感知图象的特征。3—4分钟后，投影展示图2—图4中的学生作品并点评。）

生近似计算。

师很好， 坐标为无理数，我们一般只能近似表示。当然，近似计算不是精确的图。那么，有没有一种画法能作出精确的函数图象？

（学生讨论。）

师用刻度尺来度量就肯定是近似的。

生（豁然开朗）用不带刻度的尺子反而可以画出精确的图象，那就是尺规作图。

师是的，尺规作图被认为是精确的。可是，尺规作图能画出正弦函数的图象吗？

（学生尝试。）

师请同学来说说你的想法。

生用圆规截指定长度的线段作为纵坐标，也就是……

生在单位圆里作正弦线，用作平行线的方法把正弦线平移过去，当作纵坐标。

师（面向全班）他们两人说的什么意思？大家认可吗？请按照你的理解画图看看。如果不清楚，可以讨论。

（请两位学生板书示范作图方法。教师点评，强调作图的原理，然后动画展示。）

师我们使用“几何画板”一起来感受严格的数学刻画。（出示图5）“几何画板”是根据正弦函数的几何意义画图的。同学们思考一下：在用“几何画板”绘制正弦函数图象的过程中，各变量所包含的几何意义是什么？

生自变量x是角，sinx是角x对应的函数值。

生自变量x还可以是单位圆角x所对应的弧长，sinx表示点的纵坐标，其绝对值就是点到x轴的距离。

（教师播放动画：AP伸长时，P的纵坐标随之变化，且被弧长x所确定。）

师同学们归纳得都非常好！既然自变量x表示的是弧长，正弦函数y=sinx表示的是P点的纵坐标，我们不难发现，两个变量达到了表达意义上的和谐统一。

生数学好神奇啊！原来这样刻画正弦函数关系的变量，意义上也获得了统一。

师我们常常使用的多媒体工具中，还能用什么来辅助研究函数图象？

生我们能不能用Excel软件辅助我们研究？我们在研究过程中就直接应用变量的几何意义，用弧长x刻画到y轴的位移，利用散点图画函数图象？

（请学生在电脑上利用Excel软件直接操作，再次感知正弦函数的图象。）

师我们还可以利用“函数计算器”等现代信息技术，帮助研究函数的图象。

[思考：学生利用几何画板、Excel等信息技术手段，画出精确图象，开展自主探究，实现了“学数学”到“做数学”的转变。]

2.探究活动二。

师请同学们闭上眼睛感知一下正弦函数图象的特征，设想一下，正弦函数的草图要如何绘制？

生正弦函数的图象像波浪一样，有起伏高低。

生有最高点和最低点。

生正弦函数的图象是对称的。

师怎样对称的？

生一半在x轴上方，一半在x轴下方……关于原点对称。

师观察得很细致！对称中心之间有什么规律吗？

生对称中心都在x轴上，（-2π，0），（-π，0），（0，0），（π，0），（2π，0）……每π弧長都会与x轴相交，所以在一段完整的图象上应该有5个特殊的点，其中3个点在x轴上，再加上一个最高点和一个最低点。

师同学们观察得很到位，总结归纳得也非常准确！我们现在再闭上眼睛，眼前就能浮现出正弦函数的图象。如果要你快速地画出示意图，可以选择——

师我们怎么理解这“五点法”画正弦函数的图象？下面请同学们利用“五点法”，快速作出y=sinx在[-2π，2π]的图象。

[思考：选定区间去具体作图，是为了让学生对“五点法”有真切的感受，同时帮助他们明确“在不同周期里”特殊点的含义。这个区间上的图形还体现了“关于原点对称”，也隐含了图象“往复出现”。标出每一个特殊点的坐标、感知对称性和重复性，增加了对图形的实在性的认识，这有利于以后理解和记忆函数的性质，同时为y=Asin（ωx+φ）的学习打下知识基础。]

3.活动探究三。

师如果把正弦函数的定义域推广到R，如何绘制图象？有没有什么数学依据或者现象依据？

生任意角的周而复始运动或者利用诱导公式sin（x+2kπ）=sinx，（教师补充“其中k∈Z”，并出示图6）可知正弦函数图象为以2π为周期的函数图象。

师正弦函数图象和我们生活中的周期现象一样，周而复始地出现，我们称它为正弦曲线，周期为2kπ，k∈Z，其中最小正周期为2π。

[思考：三角函数是刻画“周而复始”现象的重要数学模型，所以学生通过自主探究感知“周期性”是本节课的重点。实际生活中，有很多具有周期性的现象可以用三角函数来刻画，比如高中物理中的简谐振动、交流电中的电流、共振系统、流体力学，等等。同时，三角函数也是学生遇到的第一个用来刻画周期性现象的数学模型，对于部分学生来说也将是唯一的一个。]

4.探究活动四。

师通过已有的正弦函数图象，你知道正弦函数有哪些性质？

（学生看图写性质，填写表1。）

（三）在反思之中实现自我发展

师本节课我们做了哪些事？收獲了什么？

生我们研究了圆周运动中的正弦函数，发现它是周期函数，图象呈现周期性变化。

生了解到正弦函数图象在形成过程中的几何画图法，很神奇！

生掌握了“五点法”画正弦函数图象，如果用它画由正弦函数构成的其他函数图象也能用。

生掌握了研究函数性质的一般方法：定义→图象→性质。

[思考：最后的自我总结归纳，让学生自己完成，目的在于实现知识和方法的系统化、结构化。课堂实践也证明了这样做是有效的，特别是学生想到了“五点法”以及函数研究方法的“一般化”。]

（四）布置作业（略）

三、教学评析

现实中，有一个奇怪的现象：在学习三角函数之前，学生会很自然地说出“周期性”这个词，比如对太阳的运动、四季的更替、星期的周而复始等，他们会说那是“周期性重复的”;但在学习了三角函数以后，学生反而不能自如地说“周期性”三个字了。在别人提起时，他们头脑中闪现的则是公式T=2π/ω（正余弦）或T=π/ω（正切）。他们对“周期公式”非常熟悉，而对于其本原的意义却失去了理解和运用。

掌握了数学知识，反而抑制了“数学的眼光、数学的思维和数学的表达”，根本原因是机械记忆和过度严格的标准化训练。这是知识教学天然的缺憾，通常也被归结到“应试教育”的名下。为了弥补，人们又先后尝试了问题教学、情境教学等，取得了一定的成效但并没有完全解决问题。现象教学的出现，带给了我们更大的希望。《正弦函数的图象与性质》这节课，就很好地体现了现象教学的特点。

其一，面对真实的学习材料。

要研究正弦函数，首先就要对其有清晰的概念，以前我们疏忽了这一点，以为给出了sinα=y/r的定义，学生就认识正弦函数了。其实并不是这样。如果问高三学生“什么是三角函数”，还会有学生回答：“sin30°就是三角函数”，或“三角函数就是y=sinx、y=cosx和y=tanx”等。

以知识教学的观点，教师会分析“x的弧度是实数，因此这里给出的是两个非空实数集之间的映射，因而可以说是函数”。这在逻辑上自然是没有问题的，但是这种演绎式的教学只停留在知识的推演（讲授）上，由逻辑带来干巴巴的知识，学生没有直观的感受，没有自由的想象，更没有情感的触动和智慧的激发。在教师画完一个周期[0，2π]的图象后，学生可能连后一个周期[2π，4π]的图象都没有探究欲，更谈不上通向无穷远的图象了。

本节课，黄老师先给出一个现象——运动的P点，让学生自己体会运动过程中的变化量及依赖关系。这个现象是学生所熟悉的，也是直接就可以用来分析的，因此它本身具有“实在性、真实性”，不需要借助其他手段来解释或衬托。在用手指比画出波形曲线（多个波段）后，图象的周期性及无穷性已经不言自明了。

真实的材料引发真实的思考，才会有自由的想象、自然的感悟和自主的生成。

其二，让知识自然生成。

点P是动点，黄老师让学生用手指在空中转圈，演示点的运动。如果改用多媒体来显示这个运动过程，是否可以？当然可以，但用手指来显示更好。在屏幕上显示运动过程，把某些量做出特别标记（比如正弦线标为红色）和提示，学生确实能“看到”其中的变化及规律，但这还是一种直接的灌输，只是灌输的技术高明了一些——从单纯的口头语言变成了文字、图形、声音等多种形式的语言。借用的高科技并没有发挥激发思维的作用，反而使得“观察”更容易、“思维”更轻松，因而更肤浅、怠惰了。

黄老师的课堂，学生通过自己的手指运动，真切地感受到了“变化”及“依赖”关系，从而自然地生成了正弦函数的意义。x的向右运动和y的上下运动相伴进行，形成了“波动曲线”，这就有了对函数图象的直观感知。而当脑子里有了函数图象以后，再“画”在纸上就容易了，至于用什么方法画图也就变成一件次要的事情。再后面的，从图象上看值域、单调性、周期性等，就是一件自然而然的事情，轻松而愉快。而这些在“知识教学”中是被当作重点或难点的，教师是强调再强调，学生往往还难以心领神会。

这节课上，学生用手在空中比画图象时，已经“知道”函数有周期性，后面用严谨的数学语言sin（x+2kπ）=sinx来刻画，直至给出周期性以及最小正周期的严格定义，就毫不费力。这里的“过程价值”难以估量。

其三，注重活动与体验。

这节课研究了y=sinx，但收获的并不仅仅是这个函数的图象和性质，更重要的是研究的体验以及所使用的研究方法。有了这节课的学习，后面y=cosx和y=tanx的图象与性质也完全可以由学生自己生成，而且越往后越容易。通过这样的学习，学生进一步获得了“数学的眼光、数学的思维、数学的语言”，而不仅仅是知识和方法。

其四，先生成后表达。

我们所能“表达”的，是世界吗？其实，我们只能表达自己的感受、想法或观点。这些从哪里来？发自我们的内心。你永远也说不出你没有想到的一个数，说不出你所不知道的一个规律，也就是说，我们只能表达内心世界里已有的东西。于是结论就很清楚了，要“表达”，先要在内心里有意义生成。用心理学专业术语来说，必须先有“心理表征”，才可能形成“符号表征”。因此，“知识怎么生成”才是教学的关键。在科学研究上，新事物的意义建立起来后，如果没有现成的符号，科学家会新创一套，就像莱布尼兹之于微积分、爱因斯坦之于相对论，这往往标志着重大突破的到来。

其五，用现象教学落实核心素养。

本节课在多处都采取了“先猜后证”的途径，这是其他形式的课堂所少见的，而这正是“直观想象”素养的具体落实。波利亚耶曾说：“数学既要教证明，也要教猜想。”如果一个人只会解决别人提出的问题或猜想，就不可能产生突破性的重大贡献。

着眼于知识传承的教学，不鼓励甚至排斥直观想象;由问题导引的教学，最喜欢严谨的逻辑推理;“情境”，则往往有强烈的暗示和诱导作用。它们都没有给直观想象留下太大的空间，而现象教学做到了。而在其他核心素养的培育上，现象教学又可以吸收其他教学法的一切优点，因此，实践的结果是现象教学用起来更自然也更自由。

现象教学强调面对真实的素材，重在知识的自然生成。在对真实的素材进行思考时，学生的思维自然流淌，这就摒弃了知识教学中的那种强行植入，也避免了情境教学中的暗示和揣测。但是，现象教学不排斥情境教学，真实的情境就是现象;现象教学也不排斥知识教学，它要生成知识并在最后做规范表达。

自然生成是现象教学的核心所在，也是它区别于知识教学、问题教学、情境教学的最显著特点。自然的必然是真实的，那种扭曲的、虚夸的情境是现象教学所反对的。备课时把部分精力甚至主要精力耗费在情境设置上，本身就不自然也不正常。现象教学不排斥以前的任何教学方法（包括讲授法），只在教学材料的呈现上提出“真实性”的要求，为的是思维的真实和生成的自然。数学核心素养，需要从真实的世界中来，而不能从虚幻的或雕琢过的情境中来。知识不是教育的全部目的，甚至不是主要目的。“全面发展的人”不可能仅是“会背书的人”“会解题的人”，而应该是直面世界、充满好奇心与求知欲、能发现问题提出问题和解决问题的人。所以，知识教学、问题教学、情境教学必然会再向前发展，这也是国际上热切关注现象教学（芬兰和美国最为积极）的一个原因。以前它以“主题教学”“项目化学习”等方式存在着，但这些往往是大范围、长时间的教育、学习活动，所以又叫“跨学科综合教学”，这导致它虽然广受追捧却难以成为教学的常态。黄老师的这节课表明，现象教学完全可以进入常规课堂，即便一道数学题也可以用现象教学的观念实施教学。这类探索很值得期待。

参考文献：

[1] 张奠宙.解放思想，也来说说数学核心素养[J].中学数学教学参考，2017（14）.

[2] 刘勇.让核心素养落地——芬兰“现象教学”实践探寻[J].教育科学论坛，2017（19）.

[3] 孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”[J].数学通报，2015（10）.

[4] 孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.

[5] 水菊芳.从情境到现象：再進一步的数学教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.

[6] 李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.

[7] 孙四周.现象教学[M].长春：吉林教育出版社，2019.