蒲武军

近年来，随着计算机技术的不断发展，分数阶计算引起了许多学者的关注，并已经成功应用到许多工程技术领域［1-2］，特别是许多应用数学工作者正在用分数阶计算模拟现实过程［3-5］.HETHCOTE 讨论了一类经典的传染病模型［6］.CHEN 讨论了该模型格动力系统行波解的存在性［7］.郑义讨论了该模型在分数阶导数意义下各类平衡点的稳定性［8］.然而，传染病有一定的潜伏期.如新冠肺炎部分个体潜伏期达14 天之久.因此，讨论具有时滞的分数阶传染病模型具有十分重要的意义［9-10］.基于此，本文考虑如下具有时滞的分数阶传染病模型.

其中：α(0＜α≤1)是方程（1）的阶数，S(t)，I(t)分别表示易感者和感染者在时刻t时占总人口的比例，β称为日接触率，μ表示单位时间内人口的常数输入率，γ表示疾病的恢复率，τ表示疾病的潜伏期.

1 预备知识

定义1［11］设α∈R+，函数f(x) ∈L1(0,t)，t＞0，则 函数f(x)的α阶Riemann-Liouville 分数阶积分定义为：

定 义2［11］函 数f(x) 的α∈(n- 1,n) 阶Caputo 分数阶导数定义为：

引理1［12］考虑下面具有Caputo 分数阶导数的非线性微分方程

其中：α∈(0,1]，X(t) ∈Rn，则系统（4）的特征方程为|sαE-A|= 0.A为函数f(X(t))在系统（4）的平衡点处的雅可比矩阵.若特征方程限制在-π＜arg(s) ≤π 内的所有特征根均具有负实部，则系统（4）的零解局部渐近稳定.特别地，令sα=λ，则上式变为|λE-A|= 0.此时系统（4）的平衡点局部渐近稳定的充要条件为

引理2［13］考虑下面具有Caputo 分数阶导数的非线性时滞微分方程

其中：α∈(0,1],X(t) ∈Rn,τ≥0，则系统（5）的 特 征 方 程 为|sαE-A-Be-sτ|= 0.A，B分别为函数平衡点f(X(t))和g(X(t))在系统（5）的平衡点处的雅可比矩阵.若特征方程限制在-π＜arg(s) ≤π 内的所有特征根均具有负实部……