毛容萍

[摘  要] 变式教学，通过多维度展示知识发生以及形成过程，使学生深度理解知識的本质属性，进而实现知识、能力以及素养的多重提升. 文章结合教学实践，从三个方面探讨变式教学，以提升教学实效.

[关键词] 高中数学;变式教学;教学实效

变式教学，是当前高中数学教学的主流模式. 教师通过变化数学问题的情境，变换数学问题的条件或结论，转换数学问题的形式或内容等方式，引导学生举一反三，不断深入研究，达到触类旁通的教学效果. 从表面上看，似乎功夫花在“变”字上，其实，它的落脚点却踩在“不变”上，即通过不断的“变”让学生感悟有关数学概念或数学本质的不变性.实践证明，变式教学通过多维度展示数学知识发生以及形成过程，使学生深度理解知识的本质属性，进而实现知识、能力以及素养的多重提升. 那么，在数学教学中，最常见的变式教学有哪些？

概念教学中的“变式”

数学教学都是从让学生认识数学概念开始的. 深刻领悟概念对学生的后继学习十分重要. 如何对概念实施变式教学？即对某一数学概念，基于多维视角引导学生进行探讨，把握概念本质与属性，以实现学生深刻理解概念. 数学中的概念与定理是学习数学的奠基石，但学生常常因对概念与定理深度理解的缺失而犯这样或那样的错误. 如把平面向量理解为“带箭头的线段”，把切线理解为与曲线只有一个交点的直线等等. 对概念理解上的偏差必然导致解题错误.为此，教师在教学中应该根据概念与定理内涵与外延，进行恰如其分的“变式”，让学生走出理解上的误区.

案例1：“椭圆离心率”的教学

1. 定义：椭圆的离心率e等于其半焦距和半长轴之比.

2. 模型：椭圆■+■=1（a>b>0）的离心率：e=■=■（c=■）.

3. 变式模型：已知椭圆方程■+■=1（b>a>0），则椭圆离心率： e=■=■（c=■）.

以上对定义、模型和变式模型三者的对比研究，学生不仅理解了a，c与离心率e=■之间的关系，而且能牢牢把握住“离心率”的本质，即e=■，进而避免了标准模型的特征化的错误，即把e=■公式中c，a的相对位置误以为离心率的本质特征，只记形式不求本质的学习误区.

总而言之，概念教学至关重要，不论教材是如何安排数学概念的，教师作为学生学习的引路人，都要具有变化意识.通过变换不同表述来强化学生对概念的理解，使学生对每一概念既要会用文字表述，也要会用几何直观表述，更要学会用自己的语言来描述. 只有这样，才能让学生达到对概念本质特征的深刻理解学习要求.

公式教学中的“变式”

数学解题，离不开公式，尤其是三角函数问题，对公式学习是学生数学学习不可忽视的重要环节. 掌握公式的应用必须先认清公式的结构特征，理顺公式的前因后果与来龙去脉，弄清推证方法和适用范围，从而实现灵活运用公式解题的目的. 因此，在公式教学中，教师要注重公式的变式探究. 如，如何从两角和的余弦公式开始，变化出两角差的余弦公式，变化出两角和与差的正弦公式和正切公式，变出二倍角公式，甚至变出半角公式和万能公式，如此变式，能让学生从整体上把握住三角公式的内在联系，从对公式的死记硬背到对公式的感性认识，又从对公式的感性认识到公式的理性认识，最终实现数学思维质的飞跃.在教学中，教师通常可以通过改变公式的外部条件，引导学生探究公式的内在意义，延伸公式的应用领域，尽可能“一式多变”.

案例2：换底公式

对数的换底公式，学生理解比较困难，如果让他们死记硬背公式，那么运用时会出现障碍，但是，如果能将公式加以适当拓展变形，就可以得到换底公式的其他表现形式，从而可以帮助学生扫清应用中的障碍：

logab·logbN=logaN，logab·logba=1， logba=■.

logambn=■logab，logambm=logab（a，b>0且a，b≠1，N>0，m，n≠0）.

以上变式，让学生体会了公式变式的转化功效，为学生解题提供了广阔的天地，提高了学生直觉、发散、逆向等思维，进而形成了良好的思维品质.

例1：化简a■.

本题若按常规解法，则原式=（a■）logb（logba）=（alogab）logb（logba）=blogb（logba）=logba.若逆用换底公式来解，则原式=aloga（logba）=logba. 孰优孰劣，不言自明.

解题教学中的“变式”

数学教学的目的，是为了让学生通过解题，培养数学思维和数学能力.如何拓展学生的解题思路？对数学问题的多角度审视、多方位分析、多层次探求是极好的途径，通过这条途径，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性.在日常习题课上，最常见的变式教学就是“一题多变”，通过变式训练，来强化学生思维. 这种承上启下的变式训练，不仅可以激活学生的思维，更能让他们拾阶而上，循着变式问题的方向，促使数学思维向更高的层次发展.

案例3：两条直线平行的充要条件

在解析几何初步中，两直线平行的充要条件，是教学的重点. 教材编者分了两种情况加以证明：（1）当两直线的斜率存在时，l■∥l■？圳k■=k■且b■≠b■;（2）当两条直线斜率均不存在，且它们的同一坐标轴上的截距不相等时，它们平行.而直线的斜率是否存在，取决于y的系数含有参数是否为零，所以要分类讨论.

例2：已知直线l■：2x-4y+7=0和直线l■：x-2y+5=0，求证：l■∥l■.

分析：注意到题设中两条直线的方程中y的系数已经确定，故只要考察它们的斜率是否相等，考察它们在同一坐标轴上的截距是否一样.

证明：直线l■，l■的方程的斜截式分别是：l■：y=■x+■;l■：y=■x+■.

因为k■=■，b■=■;k■=■，b■=■，所以k■=k■，b■≠b■，所以l■∥l■.

变式1：已知直线l■：x+my+6=0，直线l■：（m-2）x+3y+2m=0相互平行，求实数m的值.

分析：由于l■的斜率存在，故m≠0，有l■∥l■？圳■=■≠■.

解：因为l■的斜率存在且l■∥l■，所以l■的斜率存在，则m≠0. 又因为l■∥l■，所以■=■≠■，即m2-2m-3=0且m2≠9，所以m=-1.

变式2：已知直线l■：x-2ay=1，l■：2x-2ay=1互相平行，求a的值.

分析：由l■∥l■？圳A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0，可得：因为本变式中两条直线方程中的y项的系数均含参数a，它们的斜率有可能不存在，所以使l■∥l■，还需A1C2-A2C1≠0.

解：由已知得：A1=1，B1=-2a，C1=-1;A2=2，B2=-2a，C2=-1.

因为l■∥l■？圳A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0，所以a=0，当a=0时，l■∥l■.

变式3：已知直线l■：x+（1+m）y=2-m，l■：2mx+4y=-16，只有当m取何值时，l■与l■有以下关系？（1）有公共点，（2）相互平行，（3）重合在一起.

分析：依据两直线位置关系的充要条件，建立方程或不等式.

解：由已知可得A1=1，B1=1+m，C1=m-2;A2=2m，B2=4，C2=16.

（1）由于l■与l■相交，故1×4-2m（1+m）≠0，所以m≠-2且m≠1.

（2）由于l■∥l■，

故1×4-2m（1+m）=0，4（m-2）-16（1+m）≠0，解得m=1.

（3）由于l■与l■重合，

故1×4-2m（1+m）=0，4（m-2）-16（1+m）=0，解得m=-2.

变式4：已知直线l与直线x-3y+6=0互相平行，且直線l与两坐标轴围成三角形，当这个三角形的面积为8时，则直线l的方程是__________.

分析：因l■∥l■？圳k■=k■且b■≠b■，故与直线Ax+By+C=0平行的直线可以设为Ax+By+m=0（m≠C）. 直线与坐标轴围成的图形是一个直角三角形.

解：设x-3y+m=0（m≠0）为所求直线l，那么直线l在x轴上的截距是a=-m，它在y轴上的截距是b=■.由于直线l与两条坐标轴围成的三角形的面积为8，所以8=■ab=■-m·■，解得m=±4■，所以所求直线的方程为x-3y±4■=0.

从以上分析，我们完全可以这样认为，变式教学不仅仅是一种教学模式，更是一种教学理念，一种可以提升学生数学核心素养的教学观念. 它的实质是精心策划并设计核心问题，引导学生进行有效探索，并让学生展示思维的形成过程，最大的优点是注重知识的建构与能力的培养，把学生从题海中解放出来，提高学生的应变能力，培养积极的创新精神. 因此，为了摆脱应试教育的束缚，作为教师都应该成为变式教学的实践者与“弄潮儿”.