张强

[摘  要] 随着新一轮课程改革的实施，课堂中落实核心素养已是广大高中数学教师应关注的问题;提升学生的核心素养已成为基础教育的热点，在具体教学中如何落实核心素养，成为广大教师关注的焦点;文章以“正弦定理”（第一课时）为例，谈谈如何遵循学生认知规律，促进学生形成和发展核心素养.

[关键词] 遵循规律;正弦定理;核心素养

2016年以来，“核心素养”成为教育界关注的热点.核心素养是一种内在修为，以思维的形式存在，表现于行为之中，它是数学知识、方法、能力经过长期积淀，最终内化与人的结果[1]. 史宁中教授认为，基于核心素养的教学过程应该是：“把握数学知识的本质，把握学生认知的过程;创设合适的教学情境，提出合适的数学问题;启发学生思考，鼓励学生与他人交流;让学生在掌握知识技能的同时，理解数学知识的本质;感悟数学的思想，形成和发展数学核心素养.”作为一名一线教师，笔者最感兴趣的问题是如何将核心素养落实到每一节数学课中，应该创设什么样的情境，提出什么样的问题等才能使得学生在掌握知识技能的同时，理解数学知识的本质;感悟数学的思想，形成和发展数学核心素养. 笔者根据课堂实践的情况，以“正弦定理”（第一课时）为例，谈谈如何遵循学生认知规律，促进学生形成和发展核心素养. 不当之处，还望读者批评指正.

基本情况

1. 学情分析

（1）学生已有的认知基础.通过人教版必修4的学习，学生已经掌握了向量运算、三角函数、三角变换等知识;学生已经有在直角三角形中解决边与角的关系的能力;学生在高一上学期已经学习过函数、三角函数、三角变换、向量等知识，在学习过程中已经形成了一定的数形结合、分类讨论、归纳猜想的数学思想.

（2）学生可能遇到的困难. 向量是解决几何图形问题的有力工具，学生在前期学习时虽已有一定能力，但由于遗忘规律的作用，学生此处联想到运用向量方法解决正弦定理的推导有困难;联想到利用三角形外接圆构造直角三角形解决正弦定理的推导有困难;学生分类讨论时不够全面等困难.

2. 教材分析

（1）教材知识体系层面.在人教版必修4中，学生已经学习了三角函数与三角变换，本节课是对前期学习的延续与补充. 正弦定理的发现源自测量问题，教材安排本节课意在帮助学生解决三角形在生活中的测量问题，同时也为后续学习余弦定理做好铺垫. 本节课主要完成正弦定理的证明与基本应用.

（2）教材对学生的影响. 一是要从实例出发，引发学生思考，激发学生学习热情;二是要从归纳猜想让正弦定理出发，将直角三角形问题拓展为斜三角形解决问题，体现“斜化直”归纳猜想、由特殊到一般等的数学思想方法;三是从体现数学工具性的作用出发，借助于向量和建系法等数学工具解决正弦定理的证明;四是在正弦定理的学习过程中，培养学生数形结合、分类讨论以及“四能”的能力.

3. 教学目标

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题，培養学生直观想象、数学抽象的核心素养.

（2）利用直观感知、实验操作认识事物，提高认识问题、分析问题和概括抽象问题的能力，利用由特殊（直角三角形）到一般（斜三角形）的归纳猜想过程，提高学生的归纳猜想能力，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养.

（3）通过对正弦定理的证明，培养学生勇于探索的能力;借助正弦定理的猜想到证明的过程，渗透分类讨论、数形结合等数学思想，形成有理有据、严谨求实的学习态度，培养学生数学建模、学会用数学的语言表达世界的核心素养.

教学过程

1. 课前预习（实物投影展示学生的作业过程，点明解题方法）

题1：在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC的中点，则■·■=__________.

设计意图：学生虽已经学过向量，但有些知识已经遗忘，设计一个预习题，作为对向量基本知识、基本方法的复习，为后续利用向量证明正弦定理做好铺垫.

题2：在△ABC中，AB=2，∠ACB=90°，则动点C的轨迹是_________. （图形）

设计意图：复习圆的相关性质，为证明正弦定理时联想到外接圆做好铺垫，此处只需要说明轨迹，即图形是什么，不需要交代轨迹方程.

题3：在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，∠A=90°，∠B=60°，b=2，求■，■.

设计意图：复习三角形的常见知识，如角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形的内角和为180°，等等;同时引入特殊情况下的正弦定理，为后续的归纳猜想做好准备，也为后续的教学做好铺垫.

2. 问题情境

问题1：为了在一条河上建一座桥，施工前要在河两岸打上两个桥位桩A，B.为测量出A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线AC，测得AC=100 m，∠C=60°，∠A=75°，为了计算桥梁成本，请你计算出桥的长度AB.

设计意图：生活实例的引入，既是引发学生思考的问题，同时也是在明示本节课的目标;既是本节课的起点，也是归宿. 同时，在情感层面上，激发了学生学习的兴趣，调动了学生的学习积极性，等等.

3. 归纳猜想

问题2：上述实际问题中建构出来的三角形是斜三角形，我们大家不太熟悉，那么就让我们首先从熟悉的直角三角形来思考吧. 通过题3的预习，请问你得到了哪些结论？

设计意图：总结出特殊情况下的结论，为归纳猜想出一般情况做好铺垫，培养学生由特殊到一般的学习方法，提升学生的核心素养.

问题3：对任意三角形也成立吗？

设计意图：猜想出在斜三角形中的一般结论，为后续的证明做好铺垫;同时也考虑到，学生的猜想会有多种结果，为了突出本节课的主题，防止出现冲淡主题的情况，对猜想的结果，选取了几个具有代表性的，利用几何画板来进行验证.

数学实验：通过几何画板演示.？摇

设计意图：通过数学实验，排除错误的猜想，保留正确的猜想，即正弦定理的内容，为后续证明提供有力的保障，培养学生“四基”中的基本活动经验.

4. 定理证明

问题4：根据直角三角形的解决过程，请大家思考一下，我们怎么样去证明正弦定理呢？

设计意图：根据学生的认知规律，学生已有直角三角形这种特殊情况经验的基础，在教师的适当引导下，学生很容易想到将斜三角形转化为直角三角形来解决问题. 但在解决问题的过程中，教师要注重引导，以防止学生出现分类讨论不全面的问题. 此处设计的目标也是形成解决证明正弦定理的“方法1”，得出正弦定理的基本内容，注重培养学生化归与转化思想、分类讨论思想、科学严谨态度.

提炼总结：数学文化链接——此种方法称为“直角三角形法”，只需要作出三角形的高线，利用直角三角形中的边角关系即可得出正弦定理. 17-18世纪中国数学家梅文鼎和英国数学家辛普森都利用了此种方法给出了证明.

设计意图：利用数学历史文化对证明过程进行总结，激发学生的求知欲望，树立学生学习数学的榜样，提高学生的学习积极性，以下几处对问题解决的总结均采用了此种方法，设计意图不再赘述.

问题5：我们将斜三角形转化为直角三角形就可以解决正弦定理的证明，除了“方法1”的处理外，我们大家再想想斜三角形还可以借助什么几何图像转化为直角三角形呢？

提炼总结：数学文化链接——此种方法称为“外接圆法”，最早为法国数学家韦达所采用，但韦达没有讨论钝角的情况，希望同学们能以严谨态度对待数学.

设计意图：主要引导学生利用△ABC的外接圆，将斜三角形转化为直角三角形来证明正弦定理，形成“方法2”，并由此得出■=■=■=2R（其中R为△ABC外接圆的半径）. 这个证明方法是在第一种方法的基础上拓展而成的，学生在预习题的引导下，联想此种解法具有一定的基础，遵循学生的认知规律，提升学生的认知水平.

问题6：三角形问题也是平面几何问题，大家想想看我们必修4中学习过什么知识来解决平面几何问题？你还有什么方法解决正弦定理的证明？

设计意图：引导学生利用向量工具解决几何问题，体现向量的工具性，也体现数学的工具性功能.这个证明方法与前两种方法对比来看，具有一定的跳跃性，故笔者在提问引导时，提出了在必修4中有哪些知识可以求解平面问题，同时学生在预习题1的引导下，联想此种解法就相对容易了.

问题7：通过上述方法的证明，我们由几何图形得出了一个代数的结论，请问你还有什么方法解决几何问题？

设计意图：由几何到代数，由形到数，几何问题代数化，最为常规的方法是建立直角坐标系来解决，引导学生形成解决平面几何问题的宏观方法，为学生后续学习解析几何提供方法，培养学生数形结合的数学思想，建立起解决平面几何问题的一般模型，培养学生数学建模的核心素养.

数学文化作业：问题6和问题7，同学们可以看到，老师并没有增加数学文化链接，这个问题就交给同学们课后去完成，以小论文的形式，发在老师的邮箱里.

定理总结：（1）正弦定理的内容;

（2）证明正弦定理有哪些方法;

（3）解决几何问题有哪些方法.

5. 数学运用

例1：为了在一条河上建一座桥，施工前要在河两岸打上两个桥位桩A，B.为测量出A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=80 m，∠B=60°，∠C=45°. 为了计算桥梁成本，请你计算出桥的长度AB.

例2：根据下列条件解三角形：

（1）a=16，b=26，A=30°;

（2）a=30，b=26，A=30°.

设计意图：数学教育的本质是育人，利用所学知识解决我们所提出的问题，让学生感悟数学是来源于生活、高于生活、回归到生活这一过程，数学是现实的、有用的，从而理解数学的价值.

6. 课堂总结与布置作业

教后反思

1. 把握教材设置的整体性，是遵循学生认知规律的保障

在初中时，学生已经学会了特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等），特殊三角形從一定意义上讲是具有确定性的，属于一种静态的图形.因此，直角三角形中的锐角三角函数，一定意义下是“三角”，即刻画直角三角形中的边角关系，属于静态下的数量关系[2]. 而其他特殊的三角形，则可以转化为直角三角形求解，如等腰三角形，则可以构造底边的一条高，即可转化为直角三角形，所以初中求解的三角形是一种静态的解三角形，而高中所学的斜三角形则是具有变化性的，属于动态的内容.

那么在编制教材时，就考虑到了这一点，初中的静态是一种规律的体现，高中学习的正弦定理则是从众多的动态中，寻找出静态的、不变的定理，使之用于一般情况. 解斜三角形其实是初中教材的延续，延续与补充的不仅仅是知识，更是思维，从这个角度来说，教材的编制是对学生学习进行的延展. 教材的编排设置，是基于遵循学生的年龄段的特点和心理状态来编制的，遵循了学生的认知规律，学生才能体会到，学习本节知识的流程是“静态——动态——静态”，学生对知识才会有更深的理解、领会，并得到逐步的提高.教材的编排是教学的主要依据，只有教材编排的恰当合理，才能为学生核心素养的提升做好保障.

2. 课前预习题为本课搭脚手，帮助学生复习已有经验

本节课的学情分析中，对学生的情况有了较为清晰的认识，包括学生对已有经验的熟悉程度. 很明显，学生在遗忘规律的作用下，已经有部分知识、方法都已经遗忘，如果课前不做必要的引导，将会对课堂知识的深化带来很多的不便之处.所以，利用“先行组织者技术”对学生已有的常识或学习过的知识进行复习，有了先前知识的准备后，教师的教与学生的学两方面的互动才会更加精彩，学生的学习将更轻松，效果才会更有效[3]. 那么又怎么样起到引导的作用呢？针对本课所学内容，课前的预习设置，必须要将向量、圆等知识方法做简要的回顾. 这样的回顾要简洁明了，不对本节课的教学造成麻烦，又要对本节课的学习起到帮手的作用，所以设置题目时，应当直接明了，不宜复杂，故设置了预习题1和预习题2.

其次，预习题还要有给学生思维拓展的作用. 预习题仅仅有复习辅助性知识，不足以对本节课核心知识产生引领作用;要想产生引领作用，就需要给学生预习一些产生思维拓展的习题，故本节课预习题3设置了正弦定理特殊化的题目，就是为了留给学生思维拓展的空间. 课堂上，学生产生了很多的猜想结果，有些猜想都是在教师的意料之外，虽然课堂主导者担心学生的想法会偏离课堂的主题，但我们教师可以通过艺术性的引导，让学生回到本课的主题上. 其实这样的过程，不但符合了发现定理第一人的发现过程，而且也让学生体会到了前辈在发现定理过程中的不容易.

预习题的作用其实就是为学生搭建了脚手架，这样的脚手架就是遵循了学生的认知规律而搭建的，它往往能调动了学生的学习积极性，激发了学生的学习兴趣，实现学生主动性研究问题，同时也教会了学生如何去学习、探索未知问题的一般模式，即要由已知到未知，由浅入深，由特殊到一般. 总之，预习题设置要遵循学生的认知规律，才能打开学生核心素养提升的通道.

3. 形散而法不散，提升学生的素养

本节课中还采用了“问题串”的形式进行课堂教学，明线是“问题串”，暗线则是由多种方法串成的一条逐层深入的线. 笔者认为多种证明方法不是简单的罗列，它们应是有机的组织，形成联系，由明到暗的过程，由点及面的过程，由开始的散到最后形成思维结构的过程.问题1以实际问题为载体，不仅提出了问题，更提出了为什么要学习本节课，从而引发学生的思考，激发学生的兴趣;问题2是特殊情况下的正弦定理的体现;问题3是提供给学生们猜想的空间;问题4是根据“斜化直”的思想着手分类讨论，然后进行证明;从问题5开始逐步证明方法由“明”转向“暗”，方法不再是想一下就能够得到，需要学生们去思考，但基于方法4中“垂直”的角度以及预习题的引导，学生能联系到外接圆，但怎么证明还需要教师进一步引导;问题6从解三角形的上位概念——平面几何，来进行进一步的探讨，又将解三角形推向一个更为宽广的思维空間中去，从而为解决正弦定理的证明提供了更为宽广的机会，也为学生思维能力的提升，提供了机会，从而可以想到方法6中的向量数量积的方法，方法7中的坐标法.

弗赖登塔尔说：“反思是数学文化过程中一种重要的活动，它是数学活动的核心和动力.”我们不妨引导学生进行反思，这些方法的背后离不开三角形的高，离不开的垂直，也就是这些方法的共同要素——直角：作高是为了构造直角三角形;向量数量积的本质是投影，含有隐形垂直关系;圆的直径所对的圆周角是直角，建立平面直角坐标系也是直角的体现. 这些方法的呈现过程显然是由明及暗，似乎对学生而言是有些难度，但这些方法的呈现过程是一个由浅入深、由散到结构化的过程，遵循了学生学习的认知规律，启发学生展开丰富的联想，激活所学的知识，形成多种不同的证明方法发展思维能力，提升核心素养[4].

4. 文化育人，写作育人，内化成素养

《普通高中数学课程标准（2017版）》明确指出了把数学文化融入数学学习内容中，充分体现数学文化价值，体现数学对于人类文明的贡献. 在2019年的全国高考数学试题中就得到了很多的体现，如2019年全国卷Ⅰ卷中第4题“断臂维纳斯”黄金分割点的问题、第6题《周易》中“卦”的问题，2019年全国卷Ⅱ卷中第4题关于“嫦娥四号”的问题、第16题关于“金石文化”的问题，2019年全国卷Ⅲ卷中第3题关于“四大名著”的问题、第17题关于“小鼠试验”的问题，等等，这些问题从数学历史、数学精神、数学应用等方面渗透了数学文化，故我们在数学课堂教学中，就应该将数学文化融入进去.

在本节课的设计中，问题4和问题5的总结后面加入数学史料，表面看来是一些点缀的作用，可能起到了激发学生学习的兴趣，又或者树立了一些学习的榜样，而事实上笔者将这些史料融入课堂，真正的目的是想告诉学生正弦定理证明方法的发生发展的过程，这个历史过程也是学生认知发生发展的过程. 告诉学生学习其实是要遵循思维的规律，其并不是一蹴而就的，应当是循序渐进、由单一到繁多的过程，同时前辈们发现和解决问题的方法和思考问题的模式等都值得学生在学习中借鉴. 问题6和问题7的总结里面没有添加链接，在前面的示范引导下，以布置作业的方式呈现，不仅培养了学生的搜集查阅资料的方法和能力，而且还提高了学生自我写作的水平，培养了学生自我反思总结的能力.数学写作，就是学生自主获取新知识的有效途径之一，它将为学生今后的学习、生活提供解决问题的方法[5]. 当学生在写作时，就会发现自身存在的问题，从而能够提醒自己修改观点或者补充论据，使自己的表达得到完善. 在此过程中，学生很自然地就将外部知识内化成了自身的素养. 这一过程其实也是遵循了学生认知规律，即“教师示范——学生模仿——总结提升——自我内化——形成素养”.

结束语

教育即生长，自然生长出的东西是最具有生命活力的;教学要探究，探究发现的历程是培养学生数学核心素养的重要渠道[6]. 基于学生认知规律进行的教学设计，即是自然生长出的东西，它会让学生在课堂中始终处在探索研究的状态，学会用数学眼光分析问题，数学的理性精神才能得到锤炼，数学直观、数学建模、数学推理、数学运算能力才能得到进一步培养，数学素养才能得到形成和发展，这样学生才能终身受益.

参考文献：

[1]  章建跃. 数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]  渠东剑. 追求自然连贯的数学教学过程[J]. 中学数学教学参考（上旬），2014（12）.

[3]  彭飞. 中学生数学写作，教学相长总相宜——关于中学生数学写作的几点思考[J].数学教学通讯，2018（03）.

[4]  张乃贵. 基于核心素养的正弦定理教学与反思[J]. 中学数学月刊，2018（11）.

[5]  王平，彭飞. 小猿搜题，你真的会用吗？[J]. 中学数学月刊，2018（07）.

[6]  胡浩. 源自本真 始于探究 成在素养——基于“正弦定理（第一课时）”教学片段的思考[J]. 中学数学杂志，2017（11）.