孙芳

摘  要：知识与技能中蕴涵的思想与方法是数学学习的重要内容. 此外，学习方式的不同也会有不同的学习效果. 以函数教学为载体，对函数概念、认识函数图象及解析式的一些教学片断进行分析，探索让学生自主探究的学习方式，在激发学生学习兴趣的同时，挖掘知识背后的思想方法，让数学意识、思维方式等自然地渗透进数学课堂中.

关键词：思想方法;函数;自主探究

一、思想方法在数学学习中的意义

对于教学过程中思想方法的渗透，首先要回归到一个本质的问题：什么是数学？什么是基本的数学思想方法？《什么是数学》一书中对其进行了阐述：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理，以及对完美境界的追求. 它的基本要素是：逻辑和直观、分析与构作、一般性和个别性. 可见，数学可以让人们更好地认识世界、解决问题.

对数学思想方法的理解，不能仅仅局限于等量代换、数形结合、分类讨论等具体的思想方法，而是学生在学习数学的过程中，逐渐形成的数学意识、数学文化、数学精神等，这些都是数学思想方法在人脑中的内化，是学生在参与数学活动后的心理体验、感悟及反思基础上的升华. 日本著名数学教育家米山国藏曾指出：纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中. 数学教育的终极目标是引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

在教学过程中，教师应尽量让学生感悟数学的实质，教给学生在遇到各种实际问题时所依赖的方法，引导学生正确的思维与实践，而这种思维方式的建立会是学生一生的财富.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中由“双基”到“四基”的变化，对基本思想与基本活动经验的要求恰好体现了对学生数学素养的培养，这是隐藏在知识与技能中的隐线.

二、自主探究学习方式的价值

《标准》提出，数学知识的获得可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式. 这里所说的接受式学习和探究式学习都属于有意义学习，两者都强调学生在新知识与已有知识之间建立有意义的联系.

接受式学习更直接，可以让学生在相对短的时间内掌握较多的知识，一般以讲授法为主，在学习过程中可以避免认识过程中的曲折和困难. 而对于自主探究式学习，学生的主体性更加突出，学生需要主动参与、实践，在过程中建立知识架构，在认识过程中会遇到曲折与困难，不断尝试的过程又会带来出乎意料的成果.

自主探究式学习有助于学生创新能力、思维能力的培养. 教师要支持学生进行自主探究，可以通过恰当的问题，适时引导，激发学生的兴趣，形成有效教学.

三、函数内容教学片断的设计与分析

函数是初、高中数学学习的重要内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，模型思想的建立尤为重要. 其实，数学模型构建了数学与现实世界的桥梁，模型思想就是用数学的语言讲述现实世界的故事，而掌握模型思想，就是把现实世界中的问题，用恰当的数学语言和数学符号描述、表达，最终得到数学模型.

函数的研究方法具有一般性和代表性. 初中学习一次函数、二次函数的方法都会为高中的学习打下基础. 因此，函数这部分内容在数学学科的学习中具有十分重要的地位.

下面以“函数”内容的教学为例，针对学生学习能力较强、爱思考、求知欲强等特点，以知识蕴涵的思想方法为主线设计问题，为自主探究学习方式提供支持，力求在激发学生学习兴趣的同时，发展学生的数学思维.

1. 函数概念的教学

在生活中，涉及函数关系的例子非常多，变量随处可见，大量存在的变量之间并不独立，而是相互联系的. 教师可以利用函数知识构造出解决问题的函数关系式，进而通过对函数问题的研究，使实际问题得到解决，这充分体现了函数的应用价值，有助于形成模型思想. 学生在小学阶段已经初步接触了函数思想，懂得一切事物都在不断变化，而且相互联系、相互制约，从而了解事物的变化趋势及运动规律.

笔者在课前了解到的情况是：一部分学生听说过函数的概念，但又不能真正理解. 例如，当问及“什么是函数”时，会有学生回答“形如[y=kx+b][k≠0]的形式是函数”，马上又会有学生指出“这不是函数，这是一次函数”. 学生对函数概念的认知只是停留在认识这种形式，并没有接触到问题的本质.

皮亚杰的建构主义理论认为，学生要在已有的知识经验基础上建构新知识. 而数学概念的抽象性更要求基于学生已有的认知基础进行教学，引导学生从原有经验、原有认识中逐步抽象概括出数学的形式化定义. 为此，笔者选择最大限度地激发学生的学习兴趣，在大量的实际问题中，抽象概括出概念的本质. 这与《标准》中提到的“建立和求解模型的过程是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”的看法是一致的.

对于函数的概念，笔者设计了如下问题.

问题1：你能列举生活中有关系的变量吗？

问题2：你能用符号表示变量之间的关系吗？

问题3：你能用语言描述兩个变量之间的关系（变化规律）吗？

以上几个问题都具有开放性，笔者给学生留出了足够的思考时间与空间，希望用问题激发学生的自主探究意识. 对于问题1，学生的兴致很高，但最初列举的例子只是局限在与数学联系紧密的问题上，如正方形的边长与面积;也出现了含有两个以上变量的例子，如速度、时间、路程. 学生在相互启发下，举例渐渐丰富，如某人的年龄与身高、时间与气温等. 在这一过程中，充分调动了学生的生活经验，发现数学与生活的紧密联系.

学生对于某人的年龄与身高这两个变量的讨论十分激烈. 首先，在符号表达上遇到困难;其次，在关系描述上也不是十分清晰. 在不断尝试、讨论的过程中，学生深刻体会到：并不是所有的函数都可以写出解析式，而变量之间的对应关系也不相同.

这样设计体现了“函数是对现实世界的一种刻画”，概念不是凭空出现的，而借助数学符号恰恰可以表达出最本质、最抽象的对应关系. 符号意识、抽象过程蕴含其中.

2. 認识函数图象

在初中数学教学中经常会用到数形结合思想，就是把代数问题通过几何图形更加直观地表示出来，或者把几何问题用代数更加准确地来刻画. 例如，学习数轴之后，在遇到相反数、绝对值、有理数大小的比较时，借助数轴来解答有时会简化问题.

但是在处理很多问题时，学生并不能将数与形很好地结合. 是教师在课堂上强调得不够多，还是其他原因？怎样才能让学生有这种相互转化的意识？这种数学思维的培养并不是一节课就可以实现的，它应该是渗透在日常的教学过程中. 教师要抓住点滴机会让学生切实感受到借助图象表达的优越性.

笔者选择了一个学生耳熟能详的小故事——龟兔赛跑，以此为背景设计函数图象的教学，并提出如下问题.

问题1：用横轴表示时间，纵轴表示路程，你能借助图象刻画完整的寓言故事吗？（兔子的路程用实线表示，乌龟的路程用虚线表示.）

问题2：从图象中可以看出哪些信息？

问题3：你可以改编故事情节，并借助图象来表达吗？

数学并不枯燥，它可以用独特的语言来描述实际问题. 从实施效果来看，针对问题1，学生给出了诸多相近作品，画出了如图1 ～ 图3所示的示意图.

以上的图象相似，但又有细微不同，这体现在变化点的位置、倾斜程度等方面. 在图1与图2的对比中，学生发现兔子睡觉时间差异很大;针对图2，有学生提出其中不太合理的地方，兔子在睡醒后还没有乌龟跑得快;而观察图3，则会发现结束的位置不同. 在观察、比较的过程中，分享不同示意图带来的故事的不同经过及结尾. 关于定义域、值域、斜率、交点等很多图象特征所表示的数学信息被揭示出来.

在解决问题3时，学生编创了如下新的故事：兔子在超过乌龟后并没有睡觉，而是跑回来鼓励乌龟再继续进行比赛，并画出了如图4所示的示意图.

学生讨论很热烈. 有学生提出图4中存在不合理的地方，图中出现了路程减少的情况，实际上是学生对路程与位移的混淆. 讨论过程中留给学生最大的收获是：感受到了函数图象的优越性，即直观、简单且包含大量信息;体会了观察图象的方法.

教师课堂教学的首要目标应该是培养学生的兴趣，激发学生对知识的渴求，要能让知识的魅力征服学生. 本节课中，不断出现的灵感火花必然会引起学生更深层次的思维，激发学生主动探索的热情.

3. 研究函数解析式

在研究函数的图象与性质时，由于学生的认知水平有限，常常是先描点画图，再边看图象边梳理性质，毕竟图象会带来直观的结论. 其实，在写出函数的解析式时性质就存在其中了，对于复杂的函数，分析解析式很重要. 这种研究函数的方法，可以培养学生分析问题的能力，即使是简单的函数形式，如[y=2x]，也可以逐步渗透，先看解析式来分析变量之间的关系，再研究图象.

为了渗透研究函数的方法，笔者选择让学生画函数[y=1x2-1]的图象. 显然，这个问题对学生来说有一定难度，它并没有出现在学生熟悉的函数形式范围内. 之所以选择这个函数切入，主要是想屏蔽掉学生已经会画的函数图象. 学生的画只是停留在记忆与技能方面，对于怎样画、如何针对解析式进行分析并没有过多的思考，因而用这个问题让学生进行尝试，体会研究函数的方法.

针对函数[y=1x2-1]，笔者提出如下问题.

问题1：你能猜出函数[y=1x2-1]的图象的样子吗？

问题2：用什么方法画出图象？

问题3：你能够写出与此图象相近的其他形式的解析式吗？

有学生认为其图象可能会与反比例函数图象比较接近，因为都有分母;可能会与二次函数图象接近，因为都有平方，但这些说法并不被大多数学生认同.

事实上，学生在七嘴八舌的讨论中，渐渐清晰了如下研究过程：选择一些特殊点并画出来，有些[x]值取不到，自变量取互为相反数的两个数时函数值都一样……其实梳理出来，这就是画出函数图象、分析函数解析式的方法. 在经历这样的思考与交流后，学生对观察解析式画函数图象又有了进一步的认识，对研究方法的内化起到了很好的促进作用.

随之而来，学生提出了更多问题. 例如，[y=1x4-1]的图象是什么样的？还可以再改变[x]的次数吗？正是受到学生的启发，教师提出问题3，作为本节课课堂教学内容的延续.

将这三个教学设计片断对比来看，教学的素养指向都是思想与方法，教学的呈现方式都是问题支持下的自主探究活动. 课堂上，学生的参与度高，开放性的问题设计可以留给学生很大的创新空间，不时出现的课堂生成问题，促使了师生、生生互动，在解决问题的过程中学习了研究方法.

类比需要观察，创新源于联想，这是解决问题受益终身的方法. 结合学生的特点，笔者坚持在课堂上渗透相关的数学思想与方法，设计自主探究活动，能够激发学生的灵感. 长此以往，这种思维方式会成为一种习惯，学生能够联想已有的知识解决问题，并进行应用，进而提出新问题，这也就自然再现了知识的形成过程.

以上三个教学片断都是基于函数这一部分内容的教学思考. 思想方法不是一节课能够落实的，这是一个循序渐进、逐渐巩固的过程;创造性思维也不是一节课培养出来的，要不断在探究活动中激发与引导. 学生最初只是停留在潜意识阶段，只是初步感知. 随着不断渗透，不断探究，才能渐渐明晰. 当经验和领悟积累到一定程度，思想方法就会凸显出来. 因此，教师要坚持做到教学中对思想方法的渗透，多一些对学生思维的关注和引导，多一些对学生自主探究活动的支持.

借助张鹤老师的话：教师要深入研究所教授的内容，我们要给学生的、要学生看到的是：你是怎样学习的，你是怎样提出问题、思考问题、解决问题的，也就是你是怎样“做学问”的.

教师教给学生的不仅仅是知识，更重要的是方法、态度和习惯，要坚持渗透在每一节数学课中.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]柯朗，罗宾. 什么是数学：对思想和方法的基本研究（第三版）[M]. 左平，张饴慈，译. 上海：复旦大学出版社，2011.

[3]米山国藏. 数学的精神、思想和方法[M]. 毛正中，吴素华，译. 成都：四川教育出版社，1986.

[4]史宁中. 数学基本思想18讲[M]. 北京：北京师范大学出版社，2016.

[5]张鹤. 张鹤：分享数学智慧的人[M]. 北京：中国大百科全书出版社，2012.