摘  要：初中函数学习的核心是研究两个变量之间的依赖与对应关系. 正比例函数作为初中阶段学生认识函数的第一个具体对象，学习体验对其他函数的学习将产生重要影响. 文章阐述了如何在正比例函数教学中增强学生在细微处的体验，借助表格、图象等直观方式帮助学生认识函数的本质特征，发现变化中的不变规律，以此提升学生理解函数的能力.

关键词：正比例函数;直观体验;变化不变

2020年10月23日，笔者有幸参加了由中国教育学会中学数学教学专业委员会、福建省教育学会数学教学委员会在福建寿宁主办的“中央苏区、革命老区中学数学教师培训”活动，活动中浙江省杭州市富阳区永兴学校的毛大平老师（以下统称“执教教师”）开设了“正比例函数的图象”一课，以下是笔者对本节课的思考.

在第二学段，学生已经对函数的雏形有所了解，但还没有学习函数的定义（正比例和反比例关系本质上是函数关系，小学阶段并没有出现函数的概念，而是让学生具体感知两个量之间的关系）. 在第三学段，教材中给出了函数的定义，北师大版《义务教育教科书·数学》给出的函数定义如下：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量[x]和[y]，并且对于变量[x]的每一个值，变量[y]都有唯一的值与它对应，那么我们称[y]是[x]的函数，其中[x]是自变量. 这与高中阶段的函数定义有所不同，并没有系统、全面地提出映射，也没有提出函数的三要素、函数的性质（如单调性、奇偶性）等有关函数的理论问题和相关概念. 但结合具体的函数时，要有效地渗透，并逐步揭示函数的本质特征——联系和变化，以及基本思想和方法. 在教学中，教师要做到含而不露、深入浅出，以适应大多数学生的认知水平和思维能力，并贯穿于函数教学的始终. 这说明初中函数不同于高中，但是又有高中函数概念的影子，对于函数性质的研究需要采取与学生认知能力相匹配的教学方式.

在初中阶段，函数到底要研究什么？史宁中先生在《中学数学课程与教学中的函数及其思想——数学教育热点问题系列访谈录之三》一文中给出了方向：在基础教育阶段，函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系. 其中三点是重要的：一是变量的取值是实数;二是因变量的取值是唯一的;三是必须借助数字以外的符号来表示函数. 这就是函数定义的核心思想. 同时，史宁中先生也指出：研究表明，初中阶段还有很大一部分学生不能用运动、变化的观点来看待问题. 对于这些概念的形成，必须由教师引导学生自己逐渐感悟.

在初中阶段，函数应该怎样教？基于具体背景的函数教学，有利于学生直观认识函数的本质特征，这就是两个变量之间的依赖关系. 作为研究对象，初中函数来源于实际，有具体的研究背景，直观认识本质特征是研究函数的重要手段. 教师可以借助表格、图象等直观方式帮助学生理解变化、发现规律、归纳性质. 那么，要如何用好表格和图象呢？这需要理解表格和图象要承担的作用，弄清楚当x变化时，y是怎么变的，以及y在变化过程中呈现出了哪些不变性. 正所谓：数缺形时少直观，形少数时难入微. 帮助学生建立对应、依赖关系在细微处的体验，发现变化中的不变是函数教学的关键.

一、利用有规律的列表感受对应与依赖

用好列表法，不但有助于直观呈现数据的分布情况，而且可以帮助学生感受表格呈现出的规律性，有助于学生发现表格的精髓，更有利于培养学生在未来的学习中主动使用表格解决问题的意识. 正是基于这样的考量，恰当使用表格并分析出數据中所蕴含的函数本质，是利用表格研究函数的重点. 例如，执教教师利用表1和表2引导学生探索正比例函数的变化规律，采取对比、层层递进的方式增强学生的体验.

很明显，以上两个函数中y都是随x的变化而变化的. 对于函数[y=2x]，y随x的增大而增大;对于[y=][-3x]，y随x的增大而减小. 但是两个表格中所列举的自变量的取值都是非等距的，尽管可以明确发现函数值递增，但是递增的规律不明显，需要进一步研究. 此时，执教教师继续追问：怎样取x的值，才能更好地研究y的变化？

这样的分析方式有助于学生发现规律：x等距增长，y也等距增大（减小）. 有规律的列表呈现出了正比例函数的本质，帮助学生发现变量x与变量y的依赖关系，具体表现为：当变量x依某一比值变化时，变量y按照相同的比值变化. 这是研究对象所呈现出的变化规律，也就是变化过程中的不变性，这种不变性就是函数的性质. 同样的研究方式可以迁移到对一次函数变化规律的探究过程中，通过有规律的列表可以发现一次函数的平均变化率[ΔyΔx]是一个常数k（k ≠ 0），从而促进学生进一步发现函数的性质. 单凭解析式这样抽象的代数表达式，学生很难发现函数的性质，需要借助其他手段直观呈现. 但是不难发现，尽管列表对于观察变化规律的作用更为突出，却无法表现出函数的连续性，这是一个明显的局限.

二、通过连续描点呈现变化，体验不变

函数图象也是一种重要的直观呈现函数变化的方式. 与其他方式相比，图象法更加直观清晰. 在实际调研中发现，多数一线教师更重视利用图象帮助学生直观认识研究对象，但是往往处理不够细腻，忽视了“连续变化”. 例如，取数量有限的几个点直接连成直线，函数图象的特征并不是学生自主发现的，而是被动接受的.

1. 重视呈现“连续”

函数图象是帮助学生理解变化对应关系的重要直观手段，单凭画图，无法找到符合条件的全部的点. 由于函数处于连续变化的过程中，用有限的几个点是不足以说明变化规律的，怎样才能使学生获得的函数图象更为真实？取足够多的点是一种较为可行的方式. 这就需要借助工具，几何画板软件等工具对于直观呈现函数的连续变化过程就显得格外有价值. 对此，执教教师的处理方式可圈可点.

借助工具可以从数的研究自然而然地转移到对形的研究，有助于学生形成体验，感知图象呈现出的连续、变化而变化、对应等关系. 通过图象感知函数的变化过程与列表感知同样重要，都是增加函数体验的有效方式.

2. 从直观到理性证明

如果证明“正比例函数的图象是一条直线”，还需要说明直线上每一点都满足直线解析式，仅仅依据几何画板软件的演示仍旧无法画出所有点，这就需要进一步的严格论证. 三角形相似是证明这个问题的基本方法. 考虑到学生还没有学习相关知识，可以用全等三角形证明这个问题. 例如，在图1中，通过证明[△AOD≌][△BAE≌][△CBF]，就可以说明同位角[∠AOD=∠BAE=][∠CBF.] 因此，说明符合解析式[y=2x]的点都在该直线上. 可以进一步推出正比例函数[y=kx]（k ≠ 0）的图象是一条直线，将研究从感性具体推向理性具体.

3. 重视特殊点的选取

发现了研究对象的特征之后，需要考虑怎么简捷、快速地画出图象的草图. 例如，学生已经发现一次函数[y=kx+b]（k ≠ 0）的图象是一条直线，进而自然会考虑只需要两个点就可以画出函数图象，关键是选择哪两个点更为合理？在实际教学中，有些教师不够重视点[0，b]和[-bk，0]的选取. 从整体视角看，这两个点是特殊点，特殊点的选取不但是出于简便的考量，更重要的是，这两个点的坐标与直线的截距和斜率直接相关，还与解决方程和不等式问题直接相关. 在特殊位置研究清晰之后，就更容易理解一般情况的研究根本了.

再如，繪制二次函数图象的时候必须要取顶点坐标. 二次函数的图象是轴对称图形，从左到右在对称轴两侧呈现出先递减后递增或者先递增后递减的特征，因此必定会产生转折点，即为顶点，如果不取顶点，二次函数图象无法成图.

4. 重视用解析式预判

图象法可以直观表述函数的形态，有利于分析函数的性质. 在函数图象的教学中，教师往往给学生造成一种假象——函数图象是可以轻易画出来的. 但事实并非如此，没有根据解析式对图象预先做出一个大致判断，单凭有限数量的描点，在不借助工具的情况下，学生很难发现函数图象的特征，这个问题在反比例函数和二次函数的作图过程中尤为突出. 学生基于一次函数的学习经验容易形成负迁移，出现用线段连接相邻点的情况，甚至会出现反比例函数图象经过原点、画二次函数的图象出现用线段连接各点等错误，借助解析式对函数图象做出大致判断可以有效解决这些问题.

虽然初中阶段并没有明确提出函数三要素，但是相关函数的构图离不开对定义域和值域的理解，教师可以利用解析式的代数特征去引导学生发现图象的大致位置. 例如，在画反比例函数[y=6x]的图象时，根据解析式的代数结构很容易理解[x≠0]，由于变化过程中两个量具有依赖关系，即一个变量每取一个确定的值，另一个变量都会有唯一确定的值与其对应. 如果将y看成自变量，那么x也可以看成是关于y的反比例函数，因此y ≠ 0. 通过这样的预判不难发现，反比例函数的图象不但不经过原点，而且与坐标轴也不会产生交点. 又如，在画二次函数[y=x2]的图象时，根据代数经验可知， [±x]是y的平方根，因而函数的图象关于y轴对称，并且因变量y的值应该都不小于0，因而图象不在x轴下方. 更为重要的是，当自变量x等距增加时，因变量y的值越来越大，改变x增长的单位长度，依然可以发现因变量y的值越来越大，因此可以说明二次函数图象上的点与点之间不能用线段相连.

以上借助函数解析式的代数结构特征分析图象位置的方式，不但成功解决了问题，还潜移默化地帮助学生滋生了函数三要素的萌芽.

三、依据变与不变概括特征，归纳性质

1. 有序观察图象

初中阶段对函数性质的研究主要聚焦单调性，单调性需要通过“递增”或者“递减”的方式来表达. 这就会涉及如何描述函数图象的问题. 教师要教给学生如何有序观察图象，观察函数图象要观察其增长的规律，让学生理解函数的变化是有序的，这个序通常和实数序有关，实数在数轴上是从左到右递增的，因此需要按照x从小到大的方向观察图象走势.

2. 数形结合发现性质与系数的关系

概括图象特征环节需要给学生以精细的观察函数图象特征的方法指导. 利用数形结合发现函数性质是研究的目标. 例如，正比例函数的比例系数k反映的是直线[y=kx]（k ≠ 0）向上的方向与x轴正方向所成角的正切值，即[k=tanα]. 当[k>0]时，正比例函数单调递增;当[k<0]时，正比例函数单调递减. 如何将这样的重要性质用学生能够感受到的方式表现出来是研究的要义. 本节课中，执教教师进行了如下设计.

问题：观察函数[y=2x，y=-3x，y=x，y=4x]和[y=-12x]的图象，根据相应图象上的点从左到右的变化趋势，将函数分类，你认为可以怎样分？理由是什么？

由于确定了观察图象的“序”，自然就会从图象的角度发现正比例函数[y=2x，y=x，y=4x]的图象具有递增的共同特征，而[y=-3x，y=-12x]的图象具有递减的共同特征，因此可以将上述五个函数图象分为递增和递减两类. 进一步地，将“形”与“数”结合，发现递增或递减与函数[y=kx]（k ≠ 0）中的k的取值相关.“递增”的图象特征可以用[k>0]的代数特点来描述;“递减”的图象特征可以用[k<0]的代数特点来描述. 此处，执教教师设计了如下的问题串启发学生思考.

追问1：将两类函数放在一起，它们的图象有没有经过特殊的点？

追问2：正比例函数[y=2x]和[y=4x]中，随着x值的增大，y的值都增大了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？

追问3：正比例函数[y=-12x]和[y=-4x]呢？

总结发现，对于[k]越大直线越陡，相应的函数值上升或下降得越快. 观察是讲究步骤的，结果是全面而系统的. 以上观察过程虽然只字未提函数的单调性，但是在整体视角下对单调性进行了合理渗透，这样的研究方式与高中函数单调性的学习是一脉相承、一以贯之的，为学生未来的学习奠定了良好的函数思维基础.

四、思考延伸

1. 从图象变化特征上升到代数刻画

尽管列表、图象等直观呈现的方式有助于增强学生对于函数的体验，但研究的最终走向还是要用代数刻画函数的性质.

从整体上看，在完成一次函数单元图象与性质的学习之后，可以帮助学生体会一些基本的代数刻画. 例如，单调性的代数刻画：若[x2>x1，] 且[y2>y1，] 则函数图象单调递增;若[x2>x1，] 且[y2<y1]，则函数图象单调递减. 图象关于y轴对称的代数刻画：若[x1+x2=0]，且[y1=y2，] 则函数图象关于y轴对称. 图象关于原点对称的代数刻画：若[x1+x2=0，] 且[y1+y2=0，] 则函数图象关于原点对称. 图象分布区域的代数刻画：图象位于第一、三象限，横、纵坐标符号相同，因此可以进一步转化为表达式[xy>0，] 等等. 这是一种重要的学习经验积累，对于后续其他函数的学习起到了重要的作用，不但使得画图有的放矢，更是对函数理解的理性提升.

2. 内化研究方法，反思提升

通过对不同形式的函数表达方式的研究，学生能够理解函数的本质，学会用变化的视角看问题，学会在变化中寻找规律. 在这样的基础上，教师需要引导学生进行拓展延伸，帮助学生更好地概括特征、归纳性质、理解函数. 这一阶段可以以研究举例的方式巩固研究方式，如解决如下中考试题.

练习：（2016年浙江·台州卷）试用学过的方法研究一类新函数[y=kx2]（k为常数， k ≠ 0）的图象和性质.

（2）对于函数[y=kx2]，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？

此题中蕴含了过程性研究，需要先对函数图象做出大致判断，再进一步作图并发现性质. 特别要说明的是，如果学生没有良好的函数基础就很难做出合理的解答.

五、补充

1. 注意差异性

由于初中函数是对变化对应思想进行研究，且三类函数表现不同，因而教师要指导学生从解析式、定义域、值域、图象、性质等多个方面进行区分，注意不同函数之间的差异.

2. 注意层次性

小学阶段，学生对正比例关系和反比例关系有过初步研究，这是认识函数的雏形阶段，学生的认知停留在对散点形式的数量的理解阶段，而在初中阶段帮助学生建立函数意识尤为重要. 正比例函数具有基础地位，帮助学生理解正比例函数是至关重要的，对正比例函数的研究和理解是学习其他函数的基础. 知识的理解往往具有一般性. 因此，将正比例函数内容研究扎实了，学生就能够举一反三，以不变应万变，为其他函数的研究做好准备.

3. 保持研究方法的一致性

尽管初中阶段学生对三类函数的认识是逐个进行的，但是研究的方法却是一致的. 数形结合有助于学生对于对应关系的理解，这是研究函数的根本方法. 函数的三种表示方法之间是相互交织的.“数”与“形”之间具有相互促进理解的作用. 用好“数”的经验有助于“形”的经验的形成，用好“形”的经验可以促进学生对“数”的深刻理解. 从“数”到“形”，再从“形”到“数”，是函数研究的需要. 最终的研究目的是上升到对函数本质的理解，归纳函数的性质.

参考文献：

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