【摘 要】要凸显数学学科的价值，须从本质出发，选择合适的学习材料，帮助学生进行深度学习，把零碎的知识点变成丰富的模型，继而形成数学素养。“3·14型思维拓展学习材料”的原则、宗旨和特征，诠释了选择数学学习材料的基本策略。

【关键词】深度学习 原汁数学 学习材料

湖北省武穴市师范附属小学校长，数学正高级教师，华中师范大学教育硕士，教育部名师领航工程成员，提出原汁数学教学理念。湖北省第十一次党代会党代表，湖北省特级教师，湖北名师，湖北名师工作室主持人，湖北省第二批卓越校长培养对象，湖北省国培专家库成员，湖北教科院、湖北师范大学兼职研究员，黄冈师范学院兼职硕士生导师，荣获“中国好校长”“湖北省三八红旗手”“黄冈市五一劳动奖章”等奖项。

数学到底是一个什么样的学科？它在人的发展中承载着什么样的光荣使命？我认为有三个核心点：解决实际问题、完善思维模式、带来精神愉悦。这也是我们所倡导的原汁数学的教学价值观—从本质出发，让学习变得自信自主，有趣有效。要实现这种价值观，必须选择合适的学习材料，进行深度学习，把零碎的知识点变成丰富的模型，继而形成数学素养。

那么什么样的材料，才能引发学生深度思考，让学生进入深度学习状态呢？原汁数学研究团队这些年来致力于开发“3·14”（“3”点原则，“1”个宗旨，“4”种特征）型思维拓展素材。不再只是限于教材中的例子，而是从现实生活、数学史话、趣题、魔术、游戏中去挖掘丰富多样、富有启迪的材料，使学生能够运用数学的眼光与思维，去认识世界、理解世界和表达世界。

一、“3”点原则：新鲜点，贴近点，本质点

教学最重要的不是在于教师讲了多少，而是在于学生学了多少。儿童注意力集中时间短，喜欢新鲜生动的、易于理解的知识，因此，我们要遵循儿童的学习特点和数学学习特征，尽量为学生选择新鲜生动、接近其最近发展区、凸显数学本质的材料。

【案例1】像爱迪生那样思考（人教版六年级下册“运用圆柱体积计算解决问题”，涂玉霞工作室陈天平老师提供）

学习材料1：脑筋急转弯（见图1）。倒过来看，不难发现是87（见图2）。教师及时总结，这种“倒过来”的思考方法突破思维定式，在生活中有很大的作用。

学习材料2：求一个空啤酒瓶的容积。

核心问题1：如果让你求出这个空啤酒瓶的容积，你有什么办法吗？

生1：将啤酒瓶加满水，然后将水倒入一个量杯中，量出的水的体积就是啤酒瓶的容积。

师：真是一个不错的方法。大家知道这个方法了吗？他是受到了什么启发想到这个方法的呢？

生2：爱迪生教他的助手测量灯泡的容积的方

法。（学生介绍爱迪生测量灯泡容积的方法）

师：大家说说看，爱迪生的方法巧妙在哪？

生3：把啤酒瓶的容积转化成水的体积，水的体积可以通过量杯测量出来。

核心问题2：如果啤酒瓶里不加满水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容积吗？

讨论：（1）这时水的体积是不是啤酒瓶的容积？

（2）你需要测量哪些数据，求出啤酒瓶的容积？

啤酒瓶的容积=（水）的体积+（瓶子倒过来后上部空出来的部分）的容积（见图3）

核心问题3：是不是只要瓶子里有液体，无论它有多少，都能求出瓶子的容积呢？

教师通过液面不断上升的动态演示，使学生明白当液面的高度超过瓶子的颈线位时，瓶子里的液体将变成不规则图形，运用此方法无法求出其容积（见图4）。

当液面不断下降，倒过来之后液面的高度低于瓶子的颈线位时，这时空的部分仍然是不规则图形，此方法也求不出它的容积（见图5）。

这样的学习材料就很有意思。

第一，以停车场的脑筋急转弯进入，“倒过来”的思考角度为后面的学习做了很好的铺垫。

第二，把爱迪生的转化思想进一步深入，如果把水倒出去，用什么方法来测量？以“倒过来”的思路，把不规则的体积变成规则的体积，充分体现了转化思想的灵活性。

第三，拋出“如果啤酒瓶里不加满水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容积吗？”问题后，让学生懂得“这一部分水”是有限制条件的，只有这样才算完整解决问题，同时也渗透了函数思想—自变量是有取值范围的。

在传统教学中，教师往往只给学生相关数据，把教学停留在让学生算出啤酒瓶的容积上，好比是给学生一把钥匙，让他去开门，是一种机械动作。而陈天平老师提供的教学案例，是在提供富有思维含量的材料的同时，从多个角度、多个层次展开问题解决的探究，整个教学过程都需要学生调动已有的知识和经验去解决问题，好比是给学生一串钥匙，让学生自己从中找到正确的那一把钥匙去开门，这属于一种智力活动。

二、 “1”个宗旨：思考真正发生，智慧真正生长

我们所选择的素材一定不会是哗众取宠，追求另类，而是让学生在这种思维碰撞中，获得乍现的灵光，全神贯注地投入学习中。

【案例2】撕纸也能计算（人教版六年级上册“分数加减法”，涂玉霞工作室周琴老师提供）

师：你能够在10秒内算出这个列式的结果吗？。（时间到，学生们都没有算出来。教师公布自己的口算答案，学生们羡慕）

师：如何挑战不可能？这里面肯定有奥秘。我们一起来玩个游戏吧。请小明同学来当我的小助手。（拿出一张A4纸）这是一张纸，平均分成两份，每份就是，给小明，我留下;再把我的平均分成两份，每份就是，小明拿，我拿;又把我的平均分成两份，其中给了小明，我留……一直这样分下去，分8次后，我手上还剩多少？小明手上有多少？小明手上有，老师手上有。原来一张纸就是一个1，分完之后，老师有，小明有多少？

学生们觉得特别惊奇，感叹“真简单！”。

师：那我们就来继续玩游戏：。能不能用刚才的方法，计算出来？（三个同学为一组，共同操作演示。很多同学因为受上面计算题的影响，把纸平均分成了两份，后来发现不对，改分成3份）

教师请学生上台演示：把一张纸平均分成3份，给小丽和小方每人都是，继续分下去，分了6次后，小丽有，小方有，我有，原来一张纸就是一个1，分完之后，我有，小丽有多少？

教师继续提问：如果不撕纸，我们还有没有其他简单的方法把它计算出来？

教师继续抛出问题：这种方法与撕纸有什么联系？（学生讨论）

是不是觉得很“烧脑”？看似非常复杂的计算题，却通过撕纸这样的方法，让它变得异常简单。它把一个个抽象的数变成了具象的小纸条，使计算过程看得见，算法理得清。教师又通过解法欣赏，进一步帮助学生打开了思路。选择合适的学习材料再加上独到的教学指导，使枯燥的计算也有了思考的深度和思想的厚度。

教学中，我们把握三个要领：第一，选择的材料难度应该略高于学生的现有水平，使学生愿意尝试;第二，要有普遍性和典型性，能够反映一般特征;第三，要能扩展开来，可以举一反三。

三、“4”种特征：联结性，发展性，挑战性，开放性

深度学习有五个层级（见图6），第一个层级没有发生学习，第二和第三层都是浅层学习。拿第三个层级来说，这样的学习就好比我们认识一个人，知道他的名字、长相和工作单位，但我们并不了解他，我们需要结合他的性格特征和工作经历来认识他，让学习达到第四级和第五级的水平，这就是深度学习。深度学习的材料只有尽可能实现联结性、发展性、挑战性、开放性，才能够建立整体结构。

【案例3】眼见为“实”吗？（人教版小学数学四年级上册“平行与垂直”）

师：看看下面带箭头的两条线段，猜猜哪条更长？（见图7）（学生们认为上面那条线段长，请一位学生上去量一量，结果是一样长！学生们感到很吃惊）

师：这就是有名的“缪勒莱耶错觉”，也叫箭形错觉。一条线段两端加上向外的两条斜线，另一条线段两端加上向内的两条斜线，则前者要显得比后者长得多。再看看下面图形的两条横线是平行的吗？（见图8）（因为有前面学习材料的影响，学生虽然觉得它们不平行，但是，大部分同学会说平行）

师：这是你们真实的看法吗？（学生摆摆头，有学生说它们看上去中间鼓起来了） 到底是不是平行的，你们有什么办法来验证一下？（全体学生在学习单上动手操作）

生1：我在两条线之间画了两条垂线，距离相等，所以是平行的。

生2：我拿一个直角三角板，一条直角边跟下面一条直线重合，发现这两条线跟它之间都是90度 ……

师：这些都是验证直线是否平行的好方法，因为平行线间的距离处处相等。你们再看看，下面这些直线是否互相平行？能否用刚才的方法来验证一下？（见图9）

师：大家是不是觉得不可思议，这叫作黑林错觉，那些错乱的竖黑条干扰了我们的视觉，产生知觉误区。这两个例子，给了我们怎样的启示？（眼见不一定为实！纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行……）

这个学习材料，首先，它是具有联结性的。一般教学中，教师只是出示很多组线段，让学生反复去辨别是不是平行线，然后教师问“为什么是平行线”，这缺乏知识运用的现实价值。而原汁数学的学习，注重知识的融合和价值观的融合，如运用垂直来判断平行关系，通过错觉图例引发学生思考，培养正确判断事物的科学态度。其次，它具有发展性。从判断两条直线是否平行到判断众多条直线是否平行，更需要方法的巧妙运用，这对学生深层次理解平行很有好处。同时，它也是富有挑战性和开发性的。在矛盾冲突中，学生的好奇心和利用数学知识去解决问题的迫切愿望得以激发，学生获得了“跳一跳就可以摘到桃子”的愉悦感和成就感。

【案例4】你相信算命吗？（人教版六年级下册“抽屉原理”）

师：猜想一下，咱们武穴市有83万人，有没有人会在同一天出生？

生齐：肯定有！

师：那至少会有多少人在同一天出生呢？（学生思考，借助计算题解答）

师：这是属于哪类问题？

生1：抽屉原理。一年最多366天，按照最不利原则，我们假设有366个抽屉。830000÷366=2267（人）……278（人）。每个抽屉里装2267个人，还有278人，那么也就是说至少有2268人在同一天出生。

师：再进一步思考，至少有多少人会在同一时出生呢？

生2：一天24个小时，相当于24个抽屉。2268÷24=94（人）……12（人）。至少有95人在同月同日同时出生。

师：武穴至少有95人在同月同日同時出生，那么他们的命运和性格应该是相同的，对不对？

生3：我觉得不大可能。

师：但是我们常常看到一些心理测试，还有一些星座算命，都说只要知道生日或出生的时辰，就能够算出他的性格和命运。而且，还有很多人说，算得特别准。这是什么原因？其实并不是因为算得准确，而是因为我们常常更倾向于相信一些笼统而普遍的人格描述。这些特点的描述既空洞又模糊，但是人们很容易接受这些描述，这也就是心理学上说的福勒效应。

延伸练习：人类的头发依种族和发色的不同，数量也略有差异。黄种人约有10万根;长有金色头发的白种人头发较细，约有12万根;红色头发略粗，有8万～9万根。83万的武穴人中至少有多少人的头发根数一样多？

这组学习材料的特点在于，能够结合生活中的现实问题，让学生运用抽屉原理来加以解决，有实际价值。同时，以数据来破解迷信，帮助学生树立正确的世界观，体现了“大数学观”。

好的学习材料正如一首好诗，总能触及人的心灵，让人进行类比联想。正如这首小诗所写，我忘记了作者是谁，不过诗的内容我却是一句也忘不了。

数学的味道和巧克力的味道一样

甜中带点苦

苦中带点甜

只有细心品味的人  才能知道  它真正的滋味

学数学的意义  不在于它的用处

而在于你忘我的投入

重点不是  花多少时间做数学

而是你花多少时间让自己

变得喜欢做数学

参考文献

[1] 约翰 B.彼格斯，凯文 F.科利斯.学习质量评价：SOLO分类理论（可观察的学习成果结构） [M]. 高凌飙，张洪岩，译. 北京：人民教育出版社，2010：78.

责任编辑：孙昕

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