张志华 武晓

[摘  要] 不等式的恒成立问题，因其运算繁杂和思想性强而成为高考命题的热点;而与此同时，高考命题已由“能力立意”转向“素养考查”，我们的解题教学也必须与时俱进，促进学生核心素养的提升.文章以一道含三角不等式恒成立问题为例提供了一个思考视角.

[关键词] 不等式恒成立;三角函数;解题教学

不等式的恒成立问题，是高中数学的一种重点题型，主要是其运算繁杂、综合性强、思想性强，对学生的逻辑推理能力、运算化简能力和分类讨论思想、数形结合思想等核心素养要求较高，也一直是高考常考常新的热点和难点. 一般来说有两种大的类型：函数不等式恒成立的证明（常见方法：①构造差函数研究最值;②放缩证明;③拆分函数）和已知不等式恒成立求参数的取值范围.前者的研究已比较透彻，笔者拟结合实例对后者进行充分的讨论.

问题呈现

（辽宁省“五校”2019届高三期末考试21（2））若不等式≤ax对?x≥0恒成立，求实数a的取值范围.

命题立意

本题难度较大，主要考查利用导数求函数的极值、利用导数研究不等式的恒成立问题，考查推理论证能力、运算求解能力、分类讨论思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养;关键难点在于将导数与三角函数相综合，所以在具体运算和三角函数的周期性的处理上，让学生觉得非常棘手.

例题解析

本题属于已知不等式恒成立求参数的取值范围问题，以下采用三种典型的解法加以剖析.

1. 解法一（参变分离）

不等式的恒成立问题，最常规的思路是通过参变分离转化为最值问题.

评注：此种解法可将其提炼出一般的解题思路，其具体程序如下：（1）先参变分离，转化为研究函数最值;（2）多次求导+罗必塔法则;（3）通过限制范围，消解三角函数的周期性，得到必要条件;（4）证明充分性（放缩消参证明不等式）.

2. 解法二（分类讨论）

不等式的恒成立问题，若参数分离不出来，或分离出来的函数研究最值很困难时，可以考虑通过构造差函数，通过讨论差函数的最值与0的大小，得出参数的取值范围.

评注：此种解法可将其提炼出一般的解题思路与程序：（1）构造差函数;（2）求导，研究导函数的值域;（3）按照“符号一边倒”原则进行分类讨论. 值得注意的是分类标准：①先研究导函数的值域;②先讨论导函数“符号一边倒”时的情形（即原函数单调），此时通常符合题意;③再讨论导函数存在隐零点的情形（零点存在定理+单调性），结合端值效应举反例.

3. 解法三（端值效应）

不等式的恒成立问题，构造差函数后，通常差函数在端点处的值为0，则可以先通过端值效应，找到一个必要条件，然后证明其充分性即可.

解析：令h（x）=ax-（x≥0）. 注意到h（0）=0，原不等式等价于：h（x）≥h（0）对?x≥0恒成立. 又h′（x）=a-，所以h′（0）=a-≥0?a≥.

下證必要性：参考解法一.

评注：此种解法可将其提炼出一般的解题思路与程序：（1）构造差函数;（2）观察差函数的端值（通常为0）;（3）根据端点处导函数的符号得出参数的取值范围;（4）证明其充分性.

提醒注意的是：①其实这里面蕴含有数形结合的思想;②有时会产生连锁效应，需要多次求导.

追根溯源

其实，不等式恒成立问题在高考中屡见不鲜，与三角函数的综合也不乏先例，我们寻根溯源，例如：

例1：（2008年全国二卷理22）设函数f（x）=，（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围.

例2：（2015年湖南卷理21）已知a>0，函数f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞））. 记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，证明：（2）若a≥，则对一切n∈N*，xn

例3：（2016年全国三卷理21）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a>0，记f（x）的最大值为A.

（3）证明f′（x）≤2A.

由于篇幅所限，这里不详加解析，相信读者可以发现这几道问题间的渊源.

教学启示

解题教学是数学教学中不可或缺的一环，解题教学不仅是数学灵活运用的内在需求，也是提升学生数学素养的清晰途径. 如何提高数学解题教学的能力呢？首先在于教师要透彻洞察问题的本质、问题的来龙去脉和前因后果，教学时可以一针见血地指出问题的关键所在. 其次力求对问题进行模型化和程序化. 模型化可以让学生轻松辨识问题和理解问题关键，程序化可以让学生“亦步亦趋”模仿和分层逐步推进. 当然这也非常考究教师的文字归纳功底和专业视野. 最后要追根溯源找到问题的源与流，特别是通过高考真题这个宝藏去探求命题者的思维，形成科学的备考经验和策略.

通过对此问题的完全解读和追根溯源，笔者针对学生解题能力的提升给出以下建议：

（1）重视问题本质和适度训练;

（2）重视一题多解和多题一解;

（3）重视一题多变和分层设问;

（4）重视题后反思和思路提炼.

总而言之，高考命题已由“能力立意”转向“素养考查”，我们的课堂教学也必须跟上这个风向标，与时俱进地进行科学备考. 数学教育家奥加涅曾说：“很多习题潜藏着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性”. 很多模拟题都是命题者精心设计的，大多蕴含深刻的背景和丰富的数学思想，很多高考题其实是这些问题的组合、加工、引申、拓展和类比. 这体现了模拟题与高考题之间的关系，其实这也是本文通过“借一斑而窥全豹”的意义之所在.