张吉

【摘 要】因为单位圆兼有数和形双重特性，所以可以把单元圆作为研究三角函数的工具。笔者通过利用单位圆研究三角函数的概念、性质、三角恒等变换公式等，说明单位圆是研究三角函数的工具，能体现三角函数学习的知识逻辑、方法逻辑、思维逻辑。

【关键词】数学工具;概念本质;单位圆

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）34-0154-02

单位圆是一个非常好的对称图形，人们能从单位圆上找到对称点、对称线段、对称角等。三角函数是以角（实数）为自变量的函数，而单位圆是利用数形结合的思想解决有关三角函数问题的重要工具。

1   利用单位圆研究三角函数的概念

1.1  定义任意角的三角函数

利用单位圆定义三角函数，有利于学生理解三角函数的本质，即任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应过程[1]。

任意给定一个角α，其终边与单位圆就有唯一的一个交点，交点的横坐标就是角α的余弦值，纵坐标就是角α的正弦值，这给学生理解三角函数的对应关系提供了极大的便利。设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 y 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y;x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x;叫做α的正切，记作tanα，即。这样，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，能为后续三角函数的学习提供思路和工具。

1.2  研究同角三角函数关系

同角三角函数关系反映的是同一个角的三角函数值之间的关系，它的研究基础是三角函数的定义，研究工具是单位圆，是利用单位圆揭示正弦、余弦、正切之间的关系。……