张奎福

(吉林省松原市长岭县巨宝山镇 131533)

一、符号

± 在3X+1中是+，在3X-1中是-

∣a∣a的绝对值

[x] 不大于x的最大整数

lnaa的自然对数

r=ln3/ln2～12.6797/8

2[nr+1]恰大于3n的2的幂

∞ 无穷大

±a(n)Q±(±a)=n

二、定义

a0是a的最大奇数因子，an是3an-1±1的最大奇数因子，求an叫做冰雹变换，n是步数.若∣an∣首先小于∣a∣，则a是n步恰小的，记做Q±(a)=n.

三、猜想

1950年考拉茨(L.Collaz1910～1990)提出：

在3X+1中，任一大于1的整数经过冰雹变换，最后得1.即：大于1的整数a经过冰雹变换，都有一个n使Q+(a)=n.在3X-1中，任一大于1的整数经过冰雹变换，最后得1，5，17中的一个.即：大于17的整数a经过冰雹变换，都有一个n使Q-(a)=n.

四、“正负相通”定理

Q+(a)=Q-(-a)，Q-(a)=Q+(-a).

证明：∵∣3X+1∣=∣-(3X+1)∣=∣3(-X)-1∣，∴Q+(a)=Q-(-a).∵∣3X-1∣=∣-(3X-1)∣=∣3(-X)+1∣，∴Q-(a)=Q+(-a).定理成立.

“正负相通”说明，光研究正数就行.

五、“等步恰小”定理

若Q±(a)=n，则Q±(2[nr+1]k+a)=n.

证明：设Q±(2tk+a)=Q±(a)=n，r=ln3/ln2.∵经过n步冰雹变换,annln3/ln2=nr，∴t的最小值是[nr+1]，3nk+an<2tk+a=2[nr+1]k+a，即Q±(2[nr+1]k+a)=n，定理成立.

“等步恰小”说明，n步以内，光研究2[nr+1]以内的数就行.

六、“加减互补”定理

Q+(2[nr+1]k+a)=Q-(2[nr+1]k-a)，Q-(2[nr+1]k+a)=Q+(2[nr+1]k-a)，

证明：由“等步恰小”定理知：

Q±(2[nr+1]k+a)=Q±(a),

Q±(2[nr+1]k-a)=Q±(-a).

由“正负相通”定理知：

Q+(2[nr+1]k+a)=Q+(+a)=Q-(-a)=Q-(2[nr+1]k-a)，

Q-(2[nr+1]k+a)=Q-(+a)=Q+(-a)=Q+(2[nr+1]k-a)，定理成立.

“加减互补”说明，光研究3X+1就行.

七、“步数无限”定理

步数没有最大值.

证明：设n是最大值.∵Q-(1,5,17)无值，由“等步恰小”定理知：Q-(2[nr+1]k+1,5,17)>n，n步未小.由“加减互补”定理知：Q+(2[nr+1]k-1,5,17)>n，n步未小.∴假设不成立，步数没有最大值，定理成立.

“步数无限”说明，研究没有止境.我验证到20步，光20步恰小就5936673个.

八、“大数必小”定理

a>17时，Q±(a)=n有解.

证明：∵每步冰雹变换都乘以3一次，除以2至少一次,∴除以2的平均次数是冰雹升降趋势的决定因素.∵每次除以2后，结果是偶数的概率是1/2，∴平均每步冰雹变换除以2的次数为Cs=2-2-s，C∞=2-2-∞=2，(s=[ln3a/ln2]).

冰雹趋势：2Cs<3时为升，2Cs>3时为降.当a>17时，s=[ln3a/ln2]≥[ln51/ln2]=5，当s≥5时，4>2Cs>3.914288>3.9>3，趋势为降.虽然有一半的变换效果相当于乘以1.5(只除以一次2时，3/2=1.5)，但整体看每步变换的平均效果相当于除以1.3多(3.9/3=1.3).尽管有些数开始时徘……