岳红云

【摘要】函数项级数是研究函数的重要工具，收敛与一致收敛性是数学分析中函数的重要性质之一，本文主要通过定义和例题浅析函数项级数的收敛与一致收敛性的联系与不同，从而应用函数项级数的一致收敛性，解释和函数与函数项分析性质的一致性问题，举例说明具有重要的实际应用.

【关键词】收敛性;一致收敛性;比较;应用

【基金项目】1.河南工业大学2019年本科教育教学改革研究与实践项目：基于信息化教学环境下“高等数学B（二）”课程的混合式教学研究与实践.项目号：JXYJ-K201945;

2.高等学校大学数学教学与研究发展中心2020年教学改革项目：以学为中心的高等数学课程混合式教学模式改革的研究与实践.项目号：CMC20200203.

一、引言

在数学分析中， 收敛性是函数的重要性质之一，收敛与一致收敛性在数学中的应用极为广泛，函数表达的一种方法是用函数项级数表示， 这种方法是表示非初等函数的重要方法. 函数项级数不仅可以表示函数，还是研究函数性质以及进行数值计算的重要工具， 想要通过函数项级数研究它所表示的函数的重要性质：和函数的连续、可积和可微性，就不能只考虑其收敛性，还要考虑更强的收敛性——一致收敛性，一致收敛是确保和函数连续的重要条件， 同时也是保障和函数可积和可微不可或缺的条件.

下面将从函数项级数的收敛与一致收敛性的定义研究它们的联系与不同.

二、收敛与一致收敛性的定义

②利用定义判定一致收敛性时，需要求出和函数，如果和函数不易求得，此时要判别函数项级数在某区间上的一致收斂性就需要根据函数项级数自身的特点，换用其他方法，比如柯西一致收敛准则、维尔斯塔拉斯判别法等.

四、结论

通过收敛与一致收敛的定义和例题可以发现，函数项级数∑∞n=0xn在（-1，1）上收敛，而在（-1，1）上非一致收敛，原因就是逐点收敛与均匀收敛的差别：函数项级数在（-1，1）上每一点处与某个常数的距离都可以任意小，所以每一点都是收敛的，而在（-1，1）上找不到通用的自然数N，使得在区间（-1，1）上每一点处函数项级数与其和函数的距离可以任意小（尽管它在[-r，r]（0

所以对函数项级数来说， 收敛只要求对其定义域内的某一个点，函数项级数的部分和与和函数从某个正整数开始，以后的各项是无限接近的， 在不同收敛点选取的正整数可以不相同，也就是收敛速度可以不同，所以收敛点与收敛点之间没有必然的联系，此时收敛性只是数列的收敛性，不涉及函数的分析性质，所以在收敛的条件下，函数项的性质与其和函数的性质之间没有必然的联系;一致收敛是指函数项级数在某个范围内有共同的收敛速度，收敛点与收敛点之间相互关联、相互制约，保证收敛速度的一致性是函数项级数在一个区间上收敛的整体体现，涉及函数的分析性质，所以在一致收敛的条件下，考查函数项性质与其和函数性质之间的关系时，就会得到“如果函数项级数在某个点集上一致收敛，并且函数项各项在点集上连续，那么和函数也在该点集上连续”的结论，所以在较高的一致收敛条件下，应用函数项级数的一致收敛性就可以利用函数项的性质得到和函数的分析性质.

五、应用

【参考文献】

[1] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义：第三版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 段会卿.函数项级数一致收敛的几个判别法[J].科技资讯，2011（18）：176.

[3] 武忠祥.工科数学分析基础教学辅导书[M].北京：高等教育出版社，2006，9.