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介值定理辨析

2020-01-11李漂星刁静琰朱德刚李文辉

数学学习与研究 2020年22期

李漂星 刁静琰 朱德刚 李文辉

【摘要】介值定理是微积分中一个重要的定理,它描述了闭区间上连续函数的一个重要性质.不同教材上的表述和一道习题引发了我们的思考.本文以该习题为例,详細探讨了介值定理的表述和推论,厘清了其条件与结论之间的关系,并结合几个实例给出了介值定理的若干注记.

【关键词】介值定理;闭区间;连续函数

【基金项目】南京林业大学“水杉名师”培养计划;南京林业大学大学生创新训练计划项目(2019NFUSPITP1048)

介值定理是高等数学中的一个重要定理,它刻画了闭区间上连续函数的一个重要性质.但一些教材在定理内容的表述上并不完全一致,这给初学者造成了极大的困扰.更重要的是,这些表述上的差异,还造成了应用该定理去证明一些结论时出现偏差.因此,有必要对介值定理的内容和结论做更深层次的分析.目前,有文献对介值定理的证明和应用做过讨论和分析[1-3],但是关于介值定理内容本身的辨析,尚未见报道.这更突显出对该定理做深入分析的必要性.

本文以教材上的一道习题入手,探讨介值定理的深刻内涵,并结合几个实例,给出了介值定理的若干注记.

一、不同版本教材对介值定理的叙述

1.教材[4]对介值定理的叙述

【参考文献】

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[3]程碧辉.介值定理的证明及其应用[J].数学学习与研究,2018(07):10,12.

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[5]王凯捷,李勇智.高等数学:第2版[M].北京:高等教育出版社,2008:38.

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