刘晓莉 戎海武 韩晓茹 苗晴

【摘要】对数函数和指数函数是一对描述自然规律的重要基本初等函数，也是可用多种方法定义的数学概念之一.本文应用微积分给出指数函数的定义，再给出对数函数的定义，研究和证明函数的主要性質，助力学生以高视角来认识函数的定义方法和运算性质的推导，了解微积分的更多应用.

【关键词】数学概念;微积分;积分上限函数;对数函数;指数函数

一、引 言

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，数学定义是对事物本质特征的内涵和外延的确切而简要的说明，其逻辑方法是数学的思维形式的具体表现.数学的基本思维形式的判断与推理通常以定理、法则、公式等方式表现出来，其基础是数学概念的严格定义.学生正确理解数学定义，灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展论证能力和空间想象能力的前提，也是增强智力的支撑点.

历史上，对数的发明先于指数.16世纪末到17世纪初的欧洲，随着天文学和航海的发展，需要处理的数据越来越大，计算也相对越来越复杂，改进和简化数字计算方法成了当务之急.数学家约翰·纳皮尔（John Napier，1550～1617）在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.恩格斯曾经将对数的发明、解析几何的创始及微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.

纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，主要原因是在当时还没有明确的指数概念，指数符号也是在20多年后的1637年，由法国数学家笛卡儿开始使用和推广的.直到18世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发现了指数与对数的互逆关系.

二、指数函数和对数函数的一般定义

现今，初等数学教材一般是先给出指数函数的定义，再给出对数函数的定义.首先回顾目前我国中学数学教材关于指数函数和对数函数的定义.

四、几点说明

有许多数学概念可以用多种方法定义，其函数表达式也有多种表示方式.例如，一般函数可以用幂级数表示，也就能以函数的幂级数展开式为基础，给出函数的定义，并以微积分的相关理论探讨函数的特征，推导其性质.又如，常微分方程初值问题也可以确定一个函数关系，以及含参量的积分和含参变量的数列极限都可以确定函数关系等，这些定义函数的新方法都是微积分应用的拓展.

指数函数是重要的基本初等函数之一，其概念和性质无论在中学数学还是高等数学中都具有承前启后的作用，是应用范围较广的基础内容.关于指数函数的概念，直至大学数学中，也未给出严谨的定义，对无理指数幂的情形进行深入探讨，分析相关的原理.

大学数学作为一个完整的课程体系，应让学生在接受数学理论时，了解其背景知识，以及更多的数学分支，并能主动地探索新知识的来龙去脉和实际应用价值.本文应用微积分定义和研究对数函数与指数函数，利用变上限积分对指数函数重新进行定义，以及推导相关性质和运算法则，挖掘出隐藏其中的问题，可使学生对微积分学的应用有一个新的认识，从而提高其思维能力和分析问题的能力.

【参考文献】

[1]王昆扬，张培恒.谈指数函数的定义：在大学数学课程中妥善定义指数函数[J].高等数学研究，2001（03）：13-14，28.

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