刘晓莉 戎海武 韩晓茹 苗晴

【摘要】对数函数和指数函数是一对描述自然规律的重要基本初等函数，也是可用多种方法定义的数学概念之一.本文应用微积分给出指数函数的定义，再给出对数函数的定义，研究和证明函数的主要性質，助力学生以高视角来认识函数的定义方法和运算性质的推导，了解微积分的更多应用.

【关键词】数学概念;微积分;积分上限函数;对数函数;指数函数

一、引 言

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，数学定义是对事物本质特征的内涵和外延的确切而简要的说明，其逻辑方法是数学的思维形式的具体表现.数学的基本思维形式的判断与推理通常以定理、法则、公式等方式表现出来，其基础是数学概念的严格定义.学生正确理解数学定义，灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展论证能力和空间想象能力的前提，也是增强智力的支撑点.

历史上，对数的发明先于指数.16世纪末到17世纪初的欧洲，随着天文学和航海的发展，需要处理的数据越来越大，计算也相对越来越复杂，改进和简化数字计算方法成了当务之急.数学家约翰·纳皮尔（John Napier，1550～1617）在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.恩格斯曾经将对数的发明、解析几何的创始及微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.

纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数……