段立伟

摘   要：当前学生普遍缺乏数学思想方面的系统知识，使得学习多在细处钻研不能串联。解决这一问题有效方法之一是编制数学思想课程，通过有序、紧凑的课堂学习来帮助学生建构数学思想智慧体系。

关键词：小学数学;数学思想;课程化

中图分类号：G623.5   文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）19/22-0113-06

一、问题的提出

（一）课题研究的背景

长久以来在小学数学界一直认为数学有两条线：数学知识是一条明线，数学思想是一条暗线。这种认识是片面的，不科学的。众所周知，人的学习分两种：一种是上行学习，如理论、思想、方法、概念的学习，是从高处入手，往往具有提纲挈领的作用;一种是下行学习，如具体的题型、知识点、经验的积累与感悟，这两种学习相辅相成，缺一不可。当学生知识存量少时渗透数学思想是符合认知规律的，当学生知识达到一定存量时，思想就有了学习的条件，随着学生知识量的增加，如何运用数学思想来减轻大脑负担，提升思维效率，变革知识结构将越来越成为必要。当前师生普遍缺乏数学思想方面的知识，使得学习多在具体问题上徘徊，解决这一问题最直接有效的方法是编制数学思想课程，通过有序、紧凑的课堂学习来帮助学生建构数学思想智慧体系。新课标也明确指出掌握“数学思想方法”是四基之一。正是在这样的背景下，我们提出了研发小学数学思想课程的课题。

（二）国内外研究现状及分析

国际数学教育改革呈现出了突出数学思想方法作用的趋势，现代化数学教育改革运动的指导思想是“大众数学”，大众数学是指把数学教育从单纯以升学为目的转向为日常生活、就业需要与进一步学习相结合方面上来，大众数学的关键就是数学思想方法的大众化。目前，国际上以“数学思想方法大众化”为理念的小学数学思想课程并不多见，这也是理念多于实践的原因之一。

国内在知网，万方网、维普网中输入“小学数学思想”关键词后，我们共得到相关研究成果近2万之多！再对近3年下载量前10的研究成果进行分析梳理后，我们得到的结论是：普遍是“……思想渗透”“……思想有效策略”。在对近三年立项课题的搜比结论基本相同。广大优秀教师和专家学者在这些方面做了大量的、深入的、卓有成效的研究，但在数学思想如何大众化、系统化、课程化的研究方面是比較少的，原因有多方面，但主要是我们一直认为学习数学思想应选择渗透方式。

（三）本单位调研情况

2016年5月，在本单位六年级各班共发放“小学六年级数学思想了解度”调查问卷300份，收回有效问卷278份。

1.你知道什么是数学思想吗？

统计：不知道和知道一点的人数占91.0%。

2.下面的数学思想哪些是你熟悉或听说过的？

统计： 200次以上的有方程、统计、假设，在100到200之间的有归纳、转化、等量代换、量率对应、概率。

3.你觉得数学思想有没有学习的必要？

统计：认为很有必要的人数占70.9%。

4.你见过专门讲小学数学思想的书籍吗？

统计：“没见过”的学生占73.0%。

5.你知道数学思想与数学能力的关系吗？

统计：不知道和知道一点的占87.1%。

6.平时上课老师讲数学思想吗？

统计：经常讲的只占10.4%，基本不讲和很少讲的占52.5%。

在对15名数学教师（非课题组教师）的座谈中，统计到能说出三种数学思想的2人，说出一种的5人，能结合例子简述化归含义的2人。

综合分析，可得到以下判断：

（1） 数学思想是有学习基础的;

（2）学生想学，教师想教是明确的;

（3）大家在数学思想方面的知识是不够完善的。

二、分析现状成因

（一）客观上

一是选拔性的“应试教育”为社会普遍认可，使得数学思想教育不受重视;二是教师的数学思想知识不够完善;三是缺少适合在课堂上教学的小学数学思想课程。

（二）主观上

长久以来在小学数学界一直认为数学思想的学习是从属于知识点的。

通过完成有一定参考与应用价值的小学数学思想课程，来帮助学生建构数学思想智慧体系。此课程需站在系统的高度组织小学数学思想，需符合“大众数学”理念。

三、课程的理论依据

（一）哲学中的系统论

所谓系统是由相互联系、相互依赖、相互制约和相互作用的若干要素组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体。它具备四性：整体性、层次性、结构性和开放性。小学数学思想系统是建立在小学数学课程基础上，以小学数学中的数学思想做系统要素，以反映各要素之间在数学上的逻辑关系，和在学习上的过程关系为目的的系统。

（二）认知规律

认知心理学证明，约11、12岁的儿童，思维已进入了形式运算阶段，接近于成人思维，这一阶段的儿童可以不再依靠具体事物来运算，能对抽象的和表征的材料进行逻辑推算，所以形式逻辑的演绎、归纳、类比以及更加抽象化、符号化的数理逻辑都有可学的内因。

（三）课标要求

新课标明确了“数学思想方法”是四基之一。

四、课程简介

（一）课程目标

通过课程学习帮助学生建构数学思想智慧体系，培养学生“对称、有序、变通”的思维能力。

（二）课程建构指导思想

思想是智慧，智慧是不能严格按从属关系建构的，但基本结构（集合、等分、比较）是清楚的;核心思想（抽象、推理、模型）是不变的;对称、有序、变通的思维智慧是统一的。

（三）内容概述

总的来说，小学数学思想可捋出五条线索。

第一条线索（第一单元），集合、等分、比较、推理是主线。人做事或思考问题都应先定目标，再依目标定范围，顺秩序。顺秩序有两个目的，一来是想知道集合大小，这时顺秩序具体为对集合建量纲，可通俗为有序等分;二来是要研究集体内各元素，各方面及与外集合之间对立统一的关系，这时顺秩序具体为“比较”与“推理”，比较是从策略上组织集合，先分层划分集合，再归纳类质，再分析类间关系，系统的把握集合，但如何归纳，如何整体把握，则需要明白归纳、类比、演绎是如何的学问，课程把其通俗为同类同理、异类同理、依理推理。

当学生学到以上知识，数学思想的智慧体系框架也就有了，緊跟其后是“类、基本数量关系与关系句”的学习，这样安排理由有三，一来是基本数量关系、关系句与具体应用题之间存在着紧密的联系，是数学课程的重要内容，也是锻炼学生思维能力的重要方面;二来能充分发挥数学思想作为上位知识的学习优势;三是体现学以致用的务实精神。

第二条线索（第二单元）是对应、转化与不变求变。对应是转化的条件，转化是对应的目的，不变求变是对应与转化的补充（强调条件、策略）。

第三条线索（第三单元）是分与合。从简单的凑、刨，到秩序上的排列与组合，再到分类、讨论与整合，分解、重组与整合，分合之间的智慧由表及里，层递深入。

第四条线索是对消、还原、方程与假设。这四个思想有着紧密的联系， 从方程来说，还原与对消是解方程的根据，从假设思想来说，方程的解题观与假设的解题观正好对立，方程是“顺其自然”，假设是“有意而为”。

第五条线索是极限与统计概率。这两个思想统一在频率上，频率属统计范畴，概率可以看成是频率的极值，区别是极限在终极状态下解问，统计与概率是为决策而立术建说。

最后一课讲“对称、有序、变通”的智慧，从更高更深刻的层次统领数学思想智慧体系，不论数学还是在其它学科，还是生活、工作都应用它来指导自己的思维。

课程由理论、教材解析、教材三部分组成，共五个单元19节，约22课时。

（四）课程内容特色

兼顾大众理念，科学思维和课本关键知识。

1.在大众数学方面。集合、等分、比较是具有普遍实践意义的数学思想;归纳、类比、演绎是具有普遍推理意义的数学思想;对称、有序、变通的思维是数学思想的智慧根据（图1）。

图1：对称、有序、变通是建构与推理的根据

2.在与课本关键知识结合方面。课程将基本数量关系、基本关系句、典型应用题、统计与概率、方程等方面的知识及相应技能与数学思想融为一体，充分发挥课程在上位学习方面的优势。在“部分课程”中，部整、份总、大小、倍比是最基本的数量关系。一类内分有部整关系，当内等分时，部整关系可以转代成份总关系;两类比较有大小关系，当大数可按小数等分时，大小关系转代成倍比关系;分率是两量按1：1等分后的份比关系，在一类内分中：分率=■，一般写成：“部分量=整体量×分率”，在两类比较中：分率=■，一般写成：“比较量=标准量×分率”，根本是■=■的比例方程。

3.以间隔模型为例，示范如何科学的思维。课程以间隔问题为例展开教学，选择间隔是因为有很多题型都可以归结到这一模型上，在它的身上可以深层次的体现对立统一的观点，能充分地说明对称的、有序的、变通的思维方式能带给学生极好的印象及起到示范作用。

（1）与“不封闭”对称的是“封闭”。植树问题是最简单的间隔问题，主要讲不封闭的间隔关系，与它对称是封闭的间隔关系。在植树问题中，首先研究的是两端都植的间隔关系，还有一端植一端不植，和两头都不植的情况存在，这三种情况对称在差异上，分别总结各自的间隔关系，再引导学生变通看待，即“一端不植”和“两端不植”可以看成是“两端都植”的特例。

在封闭中，最简单的是圆。引导学生先研究圆中的间隔关系，再研究不圆，并最后整合出不论“圆”与“不圆”只要是封闭的线就都有“点数=间隔数=每边点数×4-4=（每边点数-1）×4”的稳定关系存在。而封闭的间隔关系，又可以与不封闭中“一端不植”的情况变通，从而实现更广泛意义的变通。

（2）与“线”对称的是“面”。不封闭也罢，封闭也罢，总的来说都是间隔在线上的关系。线与面对称，面上最简单的间隔关系是方阵，方阵中最简单是实阵，与实阵对称的是虚阵，依次归纳各间隔关系，最后再整合优化，融会贯通。

当虚阵只剩一层时，虚阵就变通成一条封闭的线，它的“虚阵点数=4×层数×（最外层每边数-层数）”公式就变通成“虚阵点数=4×1×（最外层每边数-1）”与封闭线上“点数=（每边点数-1）×4”又统一了。

（3）与“面”对称的是“体”。面与体对称。体即物体，而物体与点线面最大的区别在于运动。所以这样看来，前面所研究的为静，而静与动对称且变通，在动中最简单的是行程，行程中的“时间=路程÷速度”，从静的角度看，就是以速度为间距，看路程中有这样几个间隔，这样看来“份数=总数÷每份”“数量=总价÷单价”“工作时间=工作量÷工作效率”均为间隔。

（4）与“行程”对称的是“工程”。行程与工程对称，差异在行程必须有具体量，而工程无量纲。

（5）“一般行程”与“典型行程”对称。在典型行程问题中，最直接的间隔问题是“相遇”，求“相遇时间”就是求“相遇路程”。如果以“速度和”为间距的话，有多少个间隔。相遇是相对而行，与相对而行差异对称的是相反和同向，相反的问题可以归结到“相遇”的关系上，同向的问题可以归结到“追击”上，求“追击时间”就是求“追击路程”中有多少个以“速度差”为间距的“间隔数”。

（6）“行程”与“非行程”对称。非行程典型间隔问题是“盈亏”与“鸡兔同笼”。盈亏是看由于两次配额不同造成的总差距（盈加亏），里面有多少个小差距（配额差），其实质就是在求间隔数。鸡兔同笼也是这样，假设全是兔，算出总腿差，再看造成这么大的差需要多少个小差（4-2），从而算出鸡的只数。

间隔模型的这种同干异枝，同枝异条，同条异花，同花异果，同果异味儿，为怎样对称的、有序的、变通的思维做了很好的示范，能让学生印象深刻、记忆久远，迁移广泛。

五、问题与设想

因课程综合性，如想连续完整的学习建议安排在六年级下学期。如果能将课程分层于四至六年级效果理应更好，做小初衔接也很有意义。如果能统一思想框架，并在此框架下建构一架多本的数学思想特色课程，将会更有意义。

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