孙海微

摘 要：本文给出了隐函数的定义，隐函数存在唯一性和可微性定理的内容，它们使隐函数定理的应用更具普遍性。在讨论隐函数的应用时主要对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用这两个方面的应用做了详细叙述。

关键词：隐函数定理 导数 几何应用

一、隐函数

1.隐函数的概念

在这之前我们学习过的函数，它们的表达式大部分是自变量的某个式子，如y=cosx，y=x+2等这样的函数叫做显函数。

定义1.1 设，函数F：E→R.对于方程F（x，y）=0， （1）

若存在集合，对任意x∈I，有且只有y∈J，使得（x，y）∈E，且使方程（1）成立，则称方程（1）确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.如方程xy+y-1=0能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f（x）.所以，隐函数必须在确立它的方程以及的成立范围后才有意义.[1]

2.隐函数组的概念

定义1.2 设有方程组

其中F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）为定义在V∈R4上的两个四元函数，若存在平面区域，对于D中每一点（x，y），有唯一的（u，v）∈E，使得（x，y，u，v）∈V，且满足方程组（1-1），则称方程组（1-1）确定了隐函数组u=f（x，y），v=g（x，y）并在D上成立恒等式

F（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0，G（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0.

二、隐函数定理

下面我们将给出隐函数定理的存在唯一性与可微性，即针对后面研究做好基础准备.[2]

1.隐函数存在唯一性定理

定理2.1 若函数F（x，y）满足下列条件：

（i） F在以P（x0，y0）为内点的某一区域上连续，

（ii） F（x0，y0）=0（通常称为初始条件），

（iii） F在D内存在连续的偏导数Fy（x，y），

（iv） Fy（x0，y0）≠0，

证明 先证隐函数f的存在性与惟一性

由条件（iv），不妨设Fy（x0，y0）>0.由条件（iii）Fy 在D上连续，在点P0的某一封闭的正方邻域，使得在其上每一点都有结果Fy（x，y）>0.（由连续函数的局部保号性）因而，对每个固定的x∈[x0-β，x0+β]，F（x，y），作为y的一元函数，必然在[y……