张纪魁

【摘要】数学作为一门逻辑性较强且比较抽象的工具学科，是高中阶段学习活动的重点内容。但在学习导数相关知识点过程中很多同学容易出错。本文将从导数基本概念出发，分析求极值、几何计算、定义域等易错点，有针对性的讨论出现问题的根本原因，从而正确规避，为提高数学学习效率提供理论帮助。

【关键词】高中数学;导数;易错点

引言

从广泛意义上来看，导数是微积分的重要组成部分，掌握好导数相关知识对解答函数问题起到重要帮助。高中整体数学内容涵盖了：导数、函数、几何、概率等多个知识体系，并且在历年高考中都占有一定比例。导数与函数都好学数学的基础工具，但导数相对难度较大，所以本文讨论内容有一定意义。

一、高中数学导数概述

从导数学习情况来分析，其逻辑性较强且抽象的概念是导致学习效果不佳的根本原因，很多同学在没有深入了解定义的情况下就开始习题，往往造成结果失误。另外导数综合性也比较强，其中涵盖了函数参数、几何定义等知识，所以需要在学习相关内容之前有一定的知识储备能力。宏观意义上来说，导数是近代数学里程碑式的研究，其让变量与函数之间产生了新的联系，导数中涵盖了很多知识体系，所以其也可以同样应用到这些习题的计算过程当中，并起到很高的功能价值，最开始学习相关内容，导数之间每个知识点都会表现出一种“分渭交式”状态，所以高中课程将数列、极限、函数极值放在最开始学习。从简入难，最终完成导数几何、导数求单调性、导数求极值等内容的学习。

二、导数极值易错点

利用导数求函数极值也是高中阶段的常见题型，很多同学都误以为如果函数最终求导结果为0，那么这就是函数的极值点。这种错误解题观点的出现是由于相关知识点掌握不全面，仅靠字面意思理解而没有深化学习深刻定义。如果认为导数为0时，函数极值可求，那么最终结果会出现很大偏差。例如f（x）=x³-6x²+cx，且在x=b的时候存在最小值为g（b），则g（b）的定义域、值域分别是什么。如果用上文中错误的导数解题理念，就会导致其首先求导f（x）=x⁴-2x²+ax，然后得到f（x）=x²-6x+cx，然后得到（x-1）²+c-6，让f（b）=0，得到c=-b²+6b。可知f（x）可以在符合题目要求的条件下得到最小值，最终可知f（x）=0，所以得到c<6，c=-t²+6t²<12得到t≠2，到此可知道g（t）=f（t）=-t²+3t²（t≠2）的值域。出现这种问题的根本原因就是很多同学都没有理解f'（x）=0是求最小值所需的必要条件。正确的解题答案应该是在f（x）=x³-6x²+cx的时候存在最小值，然后当t>1的时候，函数g（t）在定义域（+∞，2）里为减函数，函数值域为（-∞，8）。

三、导数几何计算易错点

在学习导数知识过程中可以明显发现，函数、导数之间存在的几何意义可以看出函数运动时曲线某范围内的斜切率，如果能充分理解相关内容定义，在处理几何计算问题时的效率就会明显提升。例如：在计算曲线切线方程y=-2x²+x时，该方程式经过点（1，1），求出该曲线的切线方程。很多同学在计算该题时出现错误都是因为先对y=-x²+x进行直接求导，然后把（2，1）直接带入到其中，得到最终切线斜率k=-2，然后带入得解y=-2x+1。在这种错误解题思维中，首先解题人没有判断（2，1）是否存在于曲线，，所以不能将其直接导入到切线方程中。因此正确完整的解题过程应该是先设定一个切点Q（x_a，y_a），然后把（2，1）带入，得到ya=-x_a²+x_a，然后求得斜率为k=f‘=-2x_a+1，根据斜线定义求知k=y_a-1/x_a-1，最终得到x_a=0或者x_a=2。切线方程为y=x以及y=-7x+8。

四、导数定义域易错点

很多同学在学习完导数知识以后，利用其对极值求解的时候忽视了函数变量自身定义域在其中起到的作用，定义域代表了函数发生变化的有效区间，同时也是一个函数意义构成的重要组成部分，如果在解题时未能重视这一方面内容就会导致解题过程出现概念性的失误，例如：在求函数f（x）=In（1+x）=x函数单调性的时候，如果忽视定义域就会导致很多同学会第一时间对f（x）=In（2+x）=x进行求导处理，然后得到f'（x）=1/x+2-1，则f'（x）=0，最终得到x=0，利用得出的x=0可知，如果f（x）>0的时候则x>0，反之f（x）<0，x<0。然后判断题目中f（x）=In（2+x）=x的极值为x=0，且f（x）=In（2+x）=x在（-∞，0）范圍内为单调递增，而在（+∞，0）范围内做单调递减。从上述错误解题思维中可以发现，在忽视定义域后对f（x）=In（2+x）=x进行求解，就很容易忽视题目中（-2，+∞）定义域，所以在解题过程中也没有强调原函数变量的重要性，定义域的变化没被计算在其中，因此就导致整体解题思路以及最终得出结果发生错误，而正确的结果则是f（x）=In（2+x）=x在（-1，+∞）范围内做单调递减。在实际运算过程中很多同学第一时间看到这种类型题都会觉得很简单，所以会疏忽定义域的理解，最终造成结果错误。

结论

综上所述，想要提高自身数学学习能力，就需要从熟记定义与概念开始，牢记知识点并通过练习累积实际应用经验。导数应用范围十分广泛，对于瞬时变化率、斜率、函数单调性等问题的解决均都起着重要作用，可以说其应用贯穿了整个高中数学学习阶段，对于提高成绩，调动思维能力均有积极意义。

【参考文献】

[1]阚晓宝.导数在高中数学解题中的有效应用[J].中学生数理化（教与学），2018（10）：45

[2]何金建.高中数学导数解题方法与策略探讨[J].数理化解题研究，2018（22）：6-7