王国海

摘 要：在考试中，学生失分的原因是多种多样的，表现的形式也不尽相同，其中最应该引起师生注意的是解题过程繁琐、解题速度缓慢造成的“费时失分”现象。选择了等差数列和等比数列的“小结论”研发成果进行分享，以期抛砖引玉。

关键词：小结论；大问题；光速解法

在高中阶段，几乎每次数学考试，除极少数学霸外，绝大多数人都做不完所有试题。针对这个普遍性问题，笔者经过学霸访谈、全面分析、深度思考、反复推敲等一系列研究发现，如果能把一些经典题的结论记住，直接应用于解题中，可以使解题速度大大提升，甚至秒杀“大问题”。现将我对等差数列和等比数列研发的最新成果进行分享，以期抛砖引玉。

一、四个“小结论”

（一）若等差数列an的前n项和为Sn，则有an= ；若数列an、bn都是等差数列，它们的前n项和分别为Sn、Tn，并且 =f（n），则有= =f（2n-1）。

研发：由数列an是等差数列可得2an=a1+a2n-1，进而an= = = ，即数列 是等差数列an的另一种表现形式。

∵an、bn都是等差数列，∴ = = = = 。∵ =f（n），∴ = =f（2n-1）。

（二）若等差数列an的前n项和为Sn，则它的任意m项片段和依次构成一个新的等差数列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差，进而S3m=3（S2m-Sm）。

研发：由Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差得2（S2m-Sm）=Sm+（S3m-S2m），进而S3m=3（S2m-Sm）。

易错提醒：①若等差数列an的前n项和为Sn，则数列 不一定是等差数列。②若等差数列an的前n项和为Sn，则Sm，S2m，S3m，…不一定成等差。

（三）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，则有Sm+n=Sm+qm·Sn。特别地，当m=1时，有Sn+1=a1+q·Sn。

研发：∵Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+am+1+am+2+…+am+n=Sm+qm（a1+a2+…+an）=Sm+qm·Sn，∴Sm+n=Sm+qm·Sn。

取m=1，得Sn+1=S1+q·Sn=a1+q·Sn。∴当m=1时，有Sn+1=a1+q·Sn。

（四）若等比数列an的前n项和为Sn，则它的任意m项片段和依次构成一个新的等比数列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比，进而S3m=Sm-S2m+ 。

研发：由Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比得（S2m-Sm）2=Sm（S3m-S2m），进而S3m=Sm-S2m+ 。

补充说明：①设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，则也有Sm+n=Sn+qn·Sm。特别地，当n=1时，有Sm+1=a1+q·Sm。②若等比數列an的前n项和为Sn，则数列Sm，S2m，S3m，…一定不是等比数列。

二、四个“大问题”

例1 设an、bn是两个项数相同的等差数列，它们的前n项和分别为Sn、Tn，并且 = 对一切正整数n都成立，那么 =________。

龟速解法：∵an、bn都是等差数列，∴2a1010=a1+a2019，2b1010=b1+b2019，进而a1010= ，b1010= ，∴ = = = 。又 = ，∴ = = = 。

光速解法：∵ = ，∴ = = = 。

例2 已知等差数列an的前m项和Sm=30，前2m项和S2m=100，则它的前3m项和S3m=_______。

龟速解法：设其公差为d，则由Sm=30得ma1+ d=30①，由S2m=100得2ma1+ d=100②，联立①②解得a1= ，d= ，∴S3m=3ma1+ d=3m× + × = =210。

光速解法：S3m=3（S2m-Sm）=3×（100-30）=210。

例3 已知等比数列an的公比q=2，其前4项和S4=30，则它的前8项和S8=________。

龟速解法：由S4=30及q=2得 =30，化简得15a1=30，解得a1=2。∴S8= =2×255=510。

光速解法：∵S8=S4+q4·S4，且q=2，S4=30，∴S8=30+24×30=510。

例4 设等比数列an的前n项和为Sn，且Sn=48，S2n=60，求S3n的值。

龟速解法：设其公比为q（q≠1），则由Sn=48得 =48①，由S2n=60得 =60②，联立①②解得qn= ， =64。∴S3n= = ·1-（qn）3=64×1-（ ）3=64× =63。

光速解法：S3n=Sn-S2n+ =48-60+ =63。

在考试中，学生失分的原因是多种多样的，表现的形式也不尽相同，其中最应该引起师生注意的是解题过程繁琐、解题速度缓慢造成的“费时失分”现象。通过比较四个“大问题”的龟速解法和光速解法不难看出，研发“小结论”，秒杀“大问题”，无疑是破解“做不完”难题的法宝。

参考文献：

王玮.活用等差、等比数列求和公式[J].中学生百科，2008（5）.

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