初中几何常见等量关系初探

2019-04-15杨海舟

数学学习与研究 2019年4期

杨海舟

【摘要】初中平面几何对一部分学生而言，是一门枯燥、无聊的学科.不仅学习起来复杂困难，教师在进行教学的过程中也比较吃力.造成这一问题的主要原因是没有掌握正确的解决问题的方法.而初中几何中随处可见求边长、角度、面积，求函数关系，求证数量或位置关系等等，这些都离不开建立等量关系.而各种资料中很少全面系统地归纳整理初中几何中等量关系的有效方法，本文即对此做初步探究.

【关键词】转化;构造;等量关系

新课改内容中一再强调，教师需要将数学思想与数学方法进行有机的融合，并将这一解决方法教学给学生.数学教师需要重视对学生数学思想和数学方法的培养，在实际教学中不断进行渗透数学思想和方法活动，切实有效地不断提高学生的数学学习与解题能力.在初中几何教学中，经常会遇到求边长、角度、面积，求函数关系，求证数量或位置关系等等，这些都离不开建立等量关系.几何中常见的等量关系有以下几种.

一、原有的等量关系（已知条件中包含的等量关系、明确图形的等量关系、公式公理定理中的等量关系）

例如，两直线若平行，则它们的斜率相等，若垂直，则它们的斜率互为负倒数，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等等.因为方法直接简便此处不做详解.

二、在直角三角形（或构造直角三角形）中利用勾股定理、锐角三角函数、或射影定理构造等量关系

直角三角形是初中几何中一个基础而又特别重要的内容，它有很多特别重要的性质，例如，两直角边互相垂直，两锐角互余，勾股定理，锐角三角函数，射影定理等等，于是我们常可以借助已有的直角三角形或构造直角三角形，利用这些性质建立等量关系从而解决问题.一般可以通过直接作垂直，或者利用等腰三角形三线合一或垂径定理等构造直角三角形.

例1 （2014·河南）如图1所示，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .

分析连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE.

解如图2所示，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P.

∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，

∴MD′=PD′，

设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，

又折叠图形可得AD=AD′=5，

在Rt△AMD′中，由勾股定理得x2+（7-x）2=25，

解得x=3或4，即MD′=3或4.

在Rt△END′中，设ED′=a，

① 当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，

∴a2=22+（4-a）2，解得a= 5 2 ，即DE= 5 2 .

② 当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，

∴a2=12+（3-a）2，解得a= 5 3 ，即DE= 5 3 .

故答案为 5 2 或 5 3 .

本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的.矩形的折叠中一般可以借助直角三角形的勾股定理构造等量关系，建立方程，从而解决问题.

三、在相似三角形（或構造相似三角形）中利用对应线段成比例，或利用平行线分线段成比例构造等量关系

相似三角形对初中生来讲是一个比较难的模块，通过相似三角形的对应线段成比例的等量关系来构造方程或函数关系关键是找出相似三角形，更难的是构造相似三角形，此时经常采用逆向思维方法由需要的条件去找或构造相似三角形.

例2 （2017·福建）如图3所示，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形.

（1）若△PCD是等腰三角形，求AP的长;

（2）若AP= 2 ，求CF的长.

分析（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论，此处利用的是本文中的第一条：原有的等量关系（已知条件中包含的等量关系、明确图形的等量关系、公式公理定理中的等量关系）.

（2）方法1：先判断出OC= 1 2 ED，OC= 1 2 PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式构建方程即可得出结论.

方法2：先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1构建方程即可得出结论.

方法3：先判断出△PME∽△PND即可得出 DP PE = 4 3 ，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式构建方程即可得出结论.

四、等积法构造等量关系

等积法其实就是等面积或等体积（容积）法，运用面积（体积）关系来证明或计算几何题的方法，称为等（面或体）积法，它是几何中的一种常用方法，可以利用“一个图形的面积相等”或“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”，从而建立等量关系解决问题.用等积法可以解决很多问题，例如，求三角形、四面体的高，求图形的面积或体积，求三角形内切圆半径，求函数解析式，在某些规律探究题中也有一定的作用.等积法的特点是把已知和未知各量用面积（体积）公式联系起来，通过运算达到求证的结果.所以用等（面或体）积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到.用等积法常要用到同（等）底同（等）高的两个三角形面积相等，同（等）底或同（等）高的面积的比等于它们的高（或底）之比，图形的平移、对称、旋转等知识.

例3 已知正方形ABCD和正方形CEFG的边BC与边CE在同一直线上，BC=2，求△BDF的面积.

分析在这个问题中只有正方形ABCD的边长，显然△BDF的面积只与这个量有关，因此，考虑将△BDF的面积转化到正方形ABCD中，连接CF，易证CF∥BD，现利用同底等高的两个三角形面积相等将所求的△BDF的面积转化为△BDC的面积.

五、“第三者”代换

在生活中“第三者”似乎“不能见光”，但在数学中“第三者”可以“光明正大”地“登堂入室”，数学中的第三者是转化问题的桥梁，有时候是解决问题的关键，解题时若能眼观全局，明确最终目的，就有可能发现这个“第三者”.常见的“第三者”有边、角、某些比例，例如，三角函数等.经常可以利用全等三角形或等腰三角形中的某些边或角相等，也可以利用平行线、相似三角形、三角函数中的比例或同角（或等角）的余（补）角相等等多种途径达到“第三者”代换的目的，从而建立等量关系达到解题的目的.

例4 （2017·北京）如图5所示，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.

（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径.

解（2）作DF⊥AB于F，连接OE.

∵DB=DE，AE=EB=6，∴EF= 1 2 BE=3，OE⊥AB.

在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，

∴DF= 52-32 =4，

∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，

∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE= AE AO = 4 5 .

∵AE=6，∴AO= 15 2 ，∴⊙O的半径为 15 2 .

在第（2）问中作DF⊥AB于F，连接OE.只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE= AE AO = 4 5 ，由此求出AE即可解决问题.此处就是利用了“第三者”——比例关系：角相等，从而相等角的同名三角函数值也相等建立的等量关系达到解题的目的.

六、将相关量转化到同一直线上，利用线段的和、差、倍、分关系

在与线段有关的等量关系证明中，线段的和、差、倍、分问题，只要通过“缩”将它们变成一条线段，就可以划归为相等关系的证明，与倍、分相关的证明还可以通过中位线、中线、中点“加倍”“折半”，使变成一条线段，也可以转化为相等的关系证明，或者化归为比例，与证明线段成比例类似，可以利用平行线分线段成比例定理、相似三角形性质的内容来解决，有时，把与面积有关的等量关系转化为与线段有关的等量关系来证明也不失为一条捷径.

学习数学的最重要的意义是学会变式思维，能一题多变，一题多解，多题同解，当我们将以上的方法熟练掌握以后，对很多几何问题我们就可以多方面、多角度地处理.

例5 （2017·陕西）如图7所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）.

A. 3 10 2

B. 3 10 5

C. 10 5

D. 3 5 5

先借助勾股定理求出AE=BE= 10 .

方法一借助相似三角形对应边成比例，易证△AED∽△BAF，得 AD AE = BF AB ，得 3 10 = BF 2 ，从而BF= 3 10 5 .

方法二借助等面积法，连接BE，S△ABE= AE×BF 2 = AB×BC 2 ，得到 10 ×BF=2×3.

方法三借助將所有关联量全部转化到线段上，设BF= x，则AE=AF+EF，即： 10 = 22-x2 + （ 10 ）2-x2 .

方法四借助第三者转化，设AF=x，则EF= 10 -x，则BF2=22-x2=（ 10 ）2-（ 10 -x）2.

当我们熟练掌握了以上六种常见构造等量关系的方法后，这个问题就变得相当简单了.此题就是从多角度用了文中提到的四种方法建立方程，从而解决问题.