卢阳 崔允亮

【摘要】 函数不等式综合了函数和不等式两个问题的难点，在近年来的高考题中含ex与lnx的不等式频繁出现，成为阻碍学生取得好成绩的拦路虎.采用常规的直接求导法，很多问题需要多次求导、多次讨论，甚至无法解决.此时，若转变思路，将复杂函数分离成两个简单函数进行研究，便能化难为易，顺利解决问题.

【关键词】 分离函数;函数不等式;参数

一、不含参数型函数不等式

用差值函数法F（x）=f（x）-g（x）>0无法证明f（x）>g（x）的情况下，我们需对f（x）和g（x）进行变形，整理成H（x）>G（x），整理后的两个函数方便研究其单调性，然后证明Q（x）=H（x）-G（x）>0或证明H（x）min≥G（x）max，再说明两函数不在同一点取最值即可.[1，2]

对只含ex或lnx的函数不等式，分离函数后我们通常采用证明Q（x）=H（x）-G（x）>0的办法，见例1.

例1   （2013年高考辽宁卷理科第21题（1）题节选）已知函数f（x）=（1+x）e-2x，当x∈[0，1]时，求证：f（x）≤ 1 1+x .

方法一  （直接求导）令g（x）=（1+x）e-2x- 1 1+x ，g′（x）= 1-（1+x）2（1+2x）e-2x （1+x）2 ，二次求导后依然无法确定令g′（x）=0的临界点，并且计算量颇大.至此，思维受阻.

方法二  （分离函数法）证f（x）=（1+x）e-2x≤ 1 1+x ，x∈[0，1]，等价于证e2x≥（1+x）2，因为ex和1+x均为正数，所以只要证ex≥1+x即可.令g（x）=ex-1-x，x∈[0，1]，g′（x）=ex-1.在x∈[0，1]时，g′（x）>0，得g（x）为单调增函数.所以g（x）≥g（0）=0，即ex≥1+x，此题得证.

变式1  （2016年高考全國卷Ⅲ文科第21题（2）题）求证：当x∈（1，+∞）时，1< x-1 lnx

小结  通过上例可以看出含ex和lnx的函数不等式，如采用分离函数法，解题过程将会大大简化.其实，分离函数的目的就是为了方便求导，我们分离函数的过程应该按照此原则.

对同时含有ex和lnx的问题，分离函数后我们通常采用证明H（x）min≥G（x）max的办法.该类问题常常出现两个单峰（谷）函数，通常以下面六图作为出题背景.笔者将下图归为两类，一类是具有最低谷的单谷函数，见图①②③④;一类是具有最高峰的单峰函数，见图⑤⑥.[3]

二、含参数型函数不等式

含参数的函数形不等式，本质上是双变量任意取值恒成立问题，一般利用主元变换、分离函数等方法，见例2.

例2   （2015年全国卷Ⅰ文科高考第20题节选）设f（x）=e2x-alnx，证明：当a>0时，f（x）≥2a+aln 2 a .

解析一  （主元变换）证f（x）≥2a+aln 2 a 等价于证2a+aln 2 a +alnx-e2x≤0（a>0，x>0）.令g（a）=2a+aln 2 a +alnx-e2x，则g′（a）=ln（2ex）-lna，得g（a）在（0，2ex）上为单调增函数，在（2ex，+∞）上为单调减函数，则g（a）≤g（2ex）=2ex-e2x，令h（x）=2ex-e2x，h′（x）=2e-2e2x.h（x）在 0， 1 2  上为单调增函数，在  1 2 ，+∞ 上为单调减函数.所以h（x）≤h  1 2  =0.最终得g（a）≤h（x）≤0，此题得证.

解析二  （分离函数法）此题含有ex和lnx，我们试着采用分离函数法，整理成两个单峰函数来比较.证此题等价于证 e2x x ≥ 2a+aln 2 a +alnx x ，令g（x）= e2x x ，g′（x）= e2x（2x-1） x2 .当x> 1 2 时，g′（x）>0，g（x）为单调增函数;当0 a 2e 时，h′（x）<0，h（x）为单调减函数;当00，h（x）为单调增函数.所以h（x）≤h  a 2e  =2e.最后得出g（x）min≥h（x）max，且不在同一点取最值，此题得证.（该方法也以上述图②⑥为背景.）

三、总 结

对含有ex或lnx函数不等式问题，可以进行直接求导，如不能解决问题，再进行分离函数，分离以后的函数可能不恰当或者还需要运用放缩法来简化不等式，解题时需要多加注意.总之，对此类问题，通法先行、适当变形、大胆求证.分离函数法作为一个很好的武器，熟练掌握后必将攻破函数不等式这个盾牌.

【参考文献】

[1]张会学.用导数证明函数不等式的技巧[J].中学数学研究（华南师范大学版：上半月），2017（10）：31-32.

[2]聂文喜.利用分离函数法证明函数不等式[J].中学数学杂志（高中版），2014（2）：46-48.

[3]郭朋贵.例析分离函数法[J].中学数学教学参考，2017（4x）：39-40.