陈芳

【摘 要】小学数学是整个义务教育阶段重要的基础课程。新的《数学课程标准》要求，小学数学课程应使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力以及创新意识。文章以《植树问题》的教学设计为例，就如何巧设学习材料触发学生的数学思维进行探讨，希望可以为小学数学的教学提供一些实质性的帮助。

【关键词】小学数学;学习材料;数学思维;教学设计

“植树问题”是人教版新课程标准教材五年级上册“数学广角”的内容，通过现实中常见的实际问题，借助线段图等手段，让学生从中发现规律，抽取出数学模型，从而解决实际问题。在这个教学过程中，教师提供的学习材料，直接影响着学生思维发展的方向和程度。

下面笔者就以《植树问题》为例，谈谈在教学实践中，教师如何创设学习材料，抓住教学的有效时机，达到材料利用效果的最大化，取得最佳的教学效果，促进学生的数学思维发展。

一、引发思维冲突，渗透化归思想

数学思想的渗透应该建立在学生原有思维框架的基础上，利用新旧知识的思维方式的差异，巧妙制造思维冲突，激发学生积极探究的欲望。在《植树问题》教学的引入环节，教师提供了以下三种信息材料：

【材料1-1】24米小路一边植树。一共要植多少棵树？

出示材料后，教师问还要考虑什么，补充“每隔6米种一棵”和三种不同的植树方案。

【材料2-1】一条马路长1000米，每隔5米种一棵（两端要栽），一共要植多少棵树？

学生猜测结论（201、200），产生争论。

【材料3-1】一条马路长1000米，每隔5米种一棵，一共要植多少棵树？

学生猜测结论（201、200、199），产生争论。

根据教师提供的不同材料，学生都不约而同地想到用“平均分”的旧知来解决问题。但笔者发现3个材料对学生思维的发展还是存在差异的。

材料1-1，教师缩小了例题的数据（100米），直接从24米引入，便于学生分析问题，用平均分解决问题。同时，不规定植树的3种情况，也给学生创造了自由发挥的空间，产生不同的结论，引发争论。材料2-1和材料3-1从1000米引入，让学生猜测结论的同时，自然引入了要把数据缩小进行研究的理念。

这个阶段材料的设计，应体现出以下三点：一是能让学生借助旧知“平均分”来解决问题。二是能制造思维冲突。不规定具体的植树情况，让学生在利用旧知解决问题时引发争论，打开学生整堂课学习的求知欲和学习兴趣，提高课堂效率。三是能自然渗透化归思想。把数据合理扩大，学生的猜测就更符合实际。

二、感知有序思维，体验对应思想

培养学生的有序思维，教师必须在课堂中注重渗透。教师在教学过程中要用好学生的材料，引导学生有序地看、有序地想、有序地说、有序地做，这样学生思路才能清晰，体验到一一对应的思想，把数学知识转化为受益终身的数学思想方法。《植树问题》一课的探究环节，教师可让学生自主表征题意，组织有序反馈，并让学生体验一一对应的数学思想。

【材料1-2】用一条线段表示24米，请学生自主表征。然后，教师选取3种不同情况的表征材料进行反馈，并在黑板上示范贴出3种情况，用箭头标注出“棵数和间隔数”，最后，让学生寻找3种表征的相同点。

【材料2-2】由材料2-1改小数据，用一条线段表示20米，学生自主表征两端都栽这1种情况。教师选取一个表征材料进行反馈，并在黑板上示范贴出1种情况，用箭头标注出“棵数和间隔数”。

【材料3-3】由材料3-1改小数据，用一条线段表示20米，学生自主表征。教师选择3种不同情况（两端都栽;只栽一端;两端都不栽）的表征材料，进行反馈后，显示表格让学生讨论这三种情况分别有什么相同之处和不同之处。

教师选取学生表征的不同材料，展开第一次探究活动，学生都能画出类似的线段图，并从图中得出结论。教师利用学生表征材料，从“两端都栽→只栽一端→两端都不栽”逐层有序反馈。学生通过有序地看、有序地想、有序地说，初步体验一一对应的数学思想，为后面的实践活动做好铺垫。

通过比较，笔者发现3个材料对学生思维的发展既有联系又有差异。材料1-2和材料3-2都让学生在观察表征后，说一说三种情况的相同之处，对学生思维的发展有很大的帮助，有利于学生总结出植树问题的规律。材料2-2是从“两端都栽”这一情况示范，让学生体验。但是被教师牵着走的痕迹较明显，部分学生的思维受到了一定的限制。

这阶段材料的选择，应体现出以下三点：一是要让学生用画图策略创生学习材料，经历解决问题的过程。二是教师要合理选择学生的表征材料，并有序组织学生交流，为学生提供多元表达的机会。三是要借助表征材料让学生初步体验一一对应的思想，把间隔数和栽树棵数一一对应起来，渗透对应的数学思想。

三、触发推理思维，感悟数形结合

推理思维是数学学习最基本的思维方式之一。当学生对植树问题的规律有了初步感知，就需要触发学生的推理思维，让他们充分感悟数形结合的数学思想，建立植樹问题的数学模型。《植树问题》第二个探究环节，教师创设的学习材料，关乎能否更好地触发学生的推理思维以及取得最大化的教学效果。

【材料1-3】

（1）我想每隔（  ）米种一棵，我先把线段平均分成（  ）段。

（2）画出三种设计方案。（两端都种;只种一端;两端都不种）

（3）列表格统计。

教师创设研究材料让学生自主探究，然后随机抽取学生提问：观察表格，你有什么发现？

生1：两端都种，棵数=段数+1。

生2：只种一端，段数=棵数。

生3：两端都不种，棵数=段数-1。

小结：段数与棵数密切相关，知道段数可以知道棵数。

【材料2-3】

全长（  ）米的小路一边植树（两端要栽），一共要栽多少棵树？（生自己画图）

师：你有什么发现？

生：棵数=段数+1。

教师再出示只栽一端、两端不栽两种情况，分别用第一种方法解决。

【材料3-3】我会研究

间隔数与棵数之间有什么关系？借助图自己研究（数一数也可以，圈一圈也可以）。

总长25米，线段不够了怎么办？（多出来的线段可以在后面补上去）

一棵树与间隔之间有什么关系？圈一圈。

找到关系：间隔+1=棵数

用同样的方法研究另外两种情况。

教师通过创设三个材料引导学生运用逻辑思维来解决问题，并寻找植树问题的规律，建立数学模型。

材料1-3，教师把三种情况都事先预设好，每位学生通过画图进行探究。但每位学生只研究了长度为24米的间隔数的情况，实践的材料还不够丰富。随后，教师把学生的数据填入汇总表，让学生观察表格，发现规律。虽然上面有画图的步骤，但是汇总到表格后去发现规律时，还是数形分离的。而且，三种情况交杂在一起，容易混淆。

材料2-3，先研究两端要栽这一种情況，得出“棵数=间隔数+1”。虽然这一种情况的探究过程比较清楚，但是后面仍旧单独介绍“只栽一端”和“两端都不栽”的情况。此过程过于分散，知识链容易断开，课堂采用一问一答式的形式，学生被动接受规律。

材料3-3，教师在表格材料前，加入了提示语“间隔数与棵数之间有什么关系？借助图自己研究（数一数也可以，圈一圈也可以）”，既让学生有明确的研究目标，又为学生提供了研究的策略（数一数、圈一圈），使学生的学习更有方向。更为巧妙的是，在提供表格材料的第一行，有线段图加以支撑。既给学生学习辅以台阶，在总长20米栽树时可以直接数一数，又让学生继续研究总长为25米、30米、35米的情况，可以继续沿着原有的线段图画一画。在画的同时，还可以进一步强化“一个间隔数、一棵树”一一对应的关系体验，得出“间隔数+1=棵数”这一规律。随后，教师让学生用同样的方法研究另外两种情况，得出“一端不栽：间隔数=棵数”“两端都不栽：间隔数-1=棵数”的规律。

在教学实践中，教师对学习材料的运用异同，直接影响着课堂教学的效果。因此，在教学实践中，教师对课堂教学中学习材料的创设非常重要。数学教师应不断地探索、研究有效学习材料创设，让学生在课堂中获得知识，促进其思维的发展。