林志鹏

【摘要】 函数与导数是高考试卷的常见压轴题。“导数易得，零点难求。”本文通过几道典型题目探讨了这类问题的几种常见破解方法，丰富这类问题的解题策略，提高解题效率。要能够从容应对此类高考压轴题，除了注重总结，根本上还是要提高数学学科素养，才能融会贯通。

【关键词】 导数 零点问题 总结 学科素养

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）07-035-01

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导数是研究函数性质的重要工具，而求导数零点是导数应用的一个重要前提。函数与导数是高考试卷的常见压轴题，其中导数零点无法求解往往是此类题目的难点之一。导数易得，零点难求，本文通过几道典型题目探讨了这类问题的几种常见破解方法，丰富这类问题的解题策略，提高解题效率。

一、加强式子变形

对数学式子进行变形，是学好代数最重要的能力之一。加强对涉及到的式子及导数的变形，可以方便求导以及导数零点的求解。

例1.已知fx=ax-1ex+x2，x=0是fx的极值点.求证：fx≥lnax-1+x2+x+1.

证明：∵f′x=exax-1+a+2x，∵x=0是fx的极值点，∴f′0=a-1=0a=1；∴fx=x-1ex+x2故要证： x-1ex≥lnx-1+x+1，令x-1=t，即证tet+1≥lnt+t+2，

设hx=ex·ex-lnx-x-2x>0，即证hx≥0，h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex，

令ux=ex-1ex， u′x=ex+1ex2>0，∴ux在0，+∞上递增，又u1=e-1e>0， ue-2=ee-2-e<0，故ux=0有唯一的根x0∈0，1， ex0=1ex0，当0x0时， ux>0h′x>0，

∴hx≥hx0=ex0·ex0-lnx0-x0-2=ex0·1ex0+lnex0+1-x0-2 =1+x0+1-x0-2=0.

点评：此题用到两次重要的式子变形，一个是将要证明的式子转化成tet+1≥lnt+t+2，另一个是h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex的变形整理。

二、利用二分法确定导数零点范围，设而不求

在求导数零点的时候无法求出具体的数值，可以尝试利用利用二分法确定导数零点个数及范围，并利用零点必须满足的式子求解极值。

例2.设函数fx=xex-12a+1x2+2x， gx=lnx-12a+1x2-ax+a+1， a∈R.當x>0时，函数y=fx的图像上存在点在函数y=gx的图像的下方，求a的取值……