殷长征

题目（2018年江苏卷第12题）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D，若AB·CD=0，则点A的横坐标为

.

解法1设点A的坐标为（a，2a）（a>0），点D的坐标（b，2b），因为B（5，0），所以圆心C（a+52，a），直线AD的斜率kAD=2，直线BD的斜率kBD=0-2b5-b，又知kAD·kBD=-1，解得b=1，所以点D的坐标（1，2），直线DC的斜率kDC=a-25+a2-1，直线AB的斜率kAB=0-2a5-a，又知kDC·kAB=-1，解得a=3，所以点A的横坐标为3.

解法2设点A的坐标为（a，2a）（a>0），因为B（5，0），所以圆心C（a+52，a），所以圆C的方程为（x-5）（x-a）+y（y-2a）=0，联立方程组y=2x，（x-5）（x-a）+y（y-2a）=0，解得D（1，2），由AB·CD=0，解得a=3或a=-1（舍去），所以点A的横坐标为3.

解法3因为AB·CD=0，所以AB⊥CD，因为C是AB的中点，所以∠BAD=45°，设直线l的倾斜角为α，所以tan∠ABO=-tan（45°+α）=3，所以直线AB的斜率kAB=-tan∠ABO=-3，又知B（5，0），所以直线AB的方程为y=-3（x-5），联立方程组y=2x，y=-3（x-5），解得x=3，所以点A的横坐标为3.

题目（2018年江苏卷第13题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.

解法1利用等面积法.因为S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12acsin120°=12csin60°+12asin60°，化简得ac=a+c，即1a+1c=1，所以4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+4=9，当且仅当ca=4ac，即c=2a时取等号，所以4a+c的最小值为9.

解法2利用正弦定理.设AD=m，CD=n，在△ABC中，由正弦定理得

asinA=bsin120°，所以b=asin120°sinA，同理可得m=sin60°sinA，n=sin60°sinC，因为

m+n=b，所以sin60°sinA+sin60°sinC=asin120°sinA，利用正弦定理并化简得1a+1c=1，同法1得4a+c的最小值为9.

解法3利用共线向量式.在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，∠ABC=120°，所以BD=aa+cBA+ca+cBC，两边平方并化简得ac=a+c，即1a+1c=1，同法1得4a+c的最小值为9.（也可以由ac=a+c，得（a-1）（c-1）=1，所以4a+c=4（a-1）+（c-1）+5≥4+5=9）.

解法4解決三角和向量问题可以利用坐标法.以点B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，可得A（a2，3a2），B（0，0），C（c2，-3c2），D（1，0），因为A，D，C三点共线，所以3a2a2-1=3c2c2-1，化简ac=a+c，同法1得4a+c的最小值为9.

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[JZ（][HT2SZ]两道高考试题的统一推广

[HT][HT5K]宁夏彭阳县第三中学756599[HT5H]王伯龙

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[STFZ]1考题呈现

题1（2018年高考全国数学卷Ι理19题）设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；……