时英雄　马艳

问题（2018年高考理科数学全国（Ⅰ）卷第16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是

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解法赏析

思路1f（x）=2sinx+sin2x，由周期函数不妨设x∈0，2π，

f′x=2cosx+2cos2x=2（2cos2x+cosx-1）=2（2cosx-1）（cosx+1）.

所以，fx在0，π3，5π3，2π上递增，在π3，5π3上递减.

所以f（x）min=min{f（0），f（5π3）}=min0，-332=-332，当x=2kπ-π3，k∈[WTHZ]Z[WTBX]时取等号.

思路2

f（x）=2sinx+2sinxcosx=2sinx1+cosx

≥-21-cos2x·1+cosx2

=-231+cosx33-3cosx≥-2331+cosx+3-3cosx44

≥-23644=-332，所以f（x）min=-332.取等号条件同思路1.

思路3f（x）=2sinx+2sinxcosx=2sinx1+cosx=8sinx2cos3x2.

令t=sinx2cos3x2

t2=13×3sin2x2·cos2x2·cos2x2·cos2x2≤133sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244

=13344，所以t∈-3316，3316，f（x）min=-332，取等号条件同思路1.

或者f2（x）=4（1-cosx）（1+cosx）3=[SX（]4[]3[SX）]（3-cosx）（1+cosx）（1+cosx）（1+cosx）≤[SX（]4[]3[SX）][JB（（][SX（]3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx[]4[SX）][JB））]4=[SX（]27[]4[SX）]，当且仅当3-3cosx=1+cosx，即cosx=[SX（]1[]2[SX）]时，取等号.有f（x）min=-[SX（]3[KF（]3[KF）][]2[SX）].

思路4f（x）=8sinx2cos3x2=8sinx2cos3x2sin2x2+cos2x22=8tanx2tan4x2+2tan2x2+1

令t=tanx2，所以fx=ft=8tt2+12.

f′t=-83t4+2t2-1t2+14，ft在-

SymboleB@ ，-33，33，+

SymboleB@ 上遞减，在-33，33上递增.

又t→+

SymboleB@ 时，ft→0，

所以f（x）min=f（t）min=f（-33）=-332.取等号条件同思路1.

作者简介时英雄，男，中学一级教师，现任教于安徽省合肥市第一中学，从事高中数学教学及数学解题方法的研究，已在《中学数学》、《中学数学杂志》等省部级期刊上发表数学论文30余篇.

[HT][HJ][FL）]

[JZ（][HT2Y3]2018年高考数学浙江卷第21题引发的探究

[HT][HT5K]浙江省宁波市第四中学315016[HT5H]魏定波

[JZ）][HT]

[FL（K2]

[STFZ]1试题呈现

[TP魏定波-1.tif，Y][TS（][JZ]图1[TS）]

如图1，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y24=1（x<0）上的动点，

求△PAB面积的取值范围（2018年高考浙江卷第21题）.

抛物线具有结构简单优美、代数计算量适中的特点，因此常常受到命题者的青睐.本题设计巧妙，不落俗套，创新意识突出，具有良好的区分度，而且它的许多性质源于著名的“阿基米德三角形”.

2试题解析

（Ⅰ）证明

方法1设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AP的中点

C（x0+x12，y0+y12），代入抛物线方程，得

y12+2y0y1+y20=8x0+8x1，即y12-2y0y1+8x0-y20=0，

依题意，y1，y2是方程y2-2y0y+8x0-y20=0的两个根，则y1+y2=2y0，即y0=yM，故PM垂直于y轴.

[TP魏定波-2.tif，Y][TS（][JZ]图2[TS）]

方法2设线段PA、PB的中点分别为C、D，线段CD的中点为N，由平面几何知识容易知道P、N、M三点共线（如图2）.

（1）当直线AB与x轴垂直时，由于抛物线的对称轴是x轴，所以△PAB是等腰三角形，且AB∥y轴，则有PM⊥AB（M，N在x轴上），即PM垂直于y轴.

（2）当直线AB与x轴不……