2018年全国高中数学联赛江苏省初赛第11题为：[TP喻秋生-1.tif，Y][TS（][JZ]图1题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P（0，1）的直线l与圆O交于A，B两点，与x轴交于点Q，设QA=λPA，QB=μPB，求证：λ+μ为定值.

此题通过计算得λ+μ=83，因此，λ+μ的值为定值.

1问题的提出

如果将题目中的圆改为其它圆锥曲线，点P为y轴上的任意定点，其它条件不变，λ+μ为值是否为定值？另外，如果点P为x轴上的任意定点，点Q为直线l与y轴的交点，其它条件不变，λ+μ为值是否为定值？

2问题的一般化探究

经过研究，可以得出下列结论：

[TP喻秋生-2.tif，Y][TS（][JZ]图2[TS）]

结论1如图2，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2b2b2-m2.

证明当直线l的斜率不存在时，点Q为原点，直线l与椭圆C的两交点为A（0，b）、B（0，-b），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=bb-m，μ=bb+m，λ+μ=2b2b2-m2.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），则点Q的坐标为（-mk，0），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=1+mkx1，μ=1+mkx2，λ+μ=2+m（x1+x2）kx1x2.[JY]（*）

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，

将x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2代入（*）并化简，得λ+μ=2b2b2-m2.

综合可得结论1成立.

结论2如图3，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点P（0，m）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与双曲线C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2b2b2+m2.

结论2的证明与结论1类似.在结论1、结论2中，点P为y轴上的定点，点Q是l与x轴的交点，如果点P是x轴上的定点，点Q是l与y轴的交点时，也有类似的结论：

[TP喻秋生-34.tif，BP][TS（][JZ]图3图4[TS）]

结论3如图4，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（m，0）（m≠±a）为定点，直线l过点P与y轴交于点Q，且与椭圆C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2a2a2-m2.

结论4如图5，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点P（m，0）为定点，直线l过点P与y轴交于点Q，且与双曲线C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2a2a2-m2.

如果曲线为抛物线，则当且仅当点P在抛物线的对称轴上时，λ+μ的值恒为常数.

[TP喻秋生-56.tif，BP][TS（][JZ]图5图6[TS）]

结论5如图6，已知抛物线C：y2=2px，点P（m，0）为定点，直线l过点P与y轴交于点Q，且与抛物线C交于A，B两……