黄如炎　林晴岚

2018年高考全国各地数学试卷绝大多数仍把导数与函数作为解答题的压轴题进行考查.该试题考查函数与方程、化归与转化、分类与整合、有限与无限、一般与特殊、数形结合等数学思想，聚焦数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，是考查理性思维和创新意识的把关题.在2018年各地试卷总体难度普遍下降的情况下，考生有更多时间思考压轴题，函数与导数综合题所承载的选拔功能更加凸显，考试区分度更加理想.函数与导数综合题成了拔尖生志在必得，中等生可得多得的关键试题.

本文通过对2018年高考几道典型函数与导数综合题的探析，给出解决函数与导数综合题的基本路径、主要对策等教考建议，为同行教学提供参考借鉴.

1试题探析

题1（2018年高考全国Ⅲ卷理科第21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（1）若a=0，证明：当-10时，f（x）>0；

（2）若x=0为f（x）的极大值点，求a.

第（1）步略，第（2）步探析如下.

探析1f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2+x+ax21+x-2，f′（x）、f″（x）零點不可求，尝试把f（x）转化为较简单的函数.f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x2+x+ax2，记h（x）=ln（1+x）-2x2+x+ax2，注意f（0）=h（0）=0，若f（x）与h（x）符号相同，由x=0为f（x）的极大值点，知在x=0附近的两侧f（x）-1，所以2+x+ax2=1+x+1+ax2>1+ax2，所以只要1+ax2≥0时，2+x+ax2>0，f（x）与h（x）同号.对不等式1+ax2≥0，对a进行如下讨论：

（ⅰ）若a≥0，f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x≥（2+x）ln（1+x）-2x，由（1）知，当x>0时，f（x）>0，与x=0为f（x）极大值点矛盾.

（ⅱ）若a<0，1+ax2≥0等价于x2≤-1a，即x<-1a，又x>-1，故当x

2+x+ax2>0.h′（x）=11+x-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）（2+x+ax2）=x2（a2x2+4ax+6a+1）（x+1）（ax2+x+2）2.

二次函数y=a2x2+4ax+6a+1在x=0附近两侧的符号与6a+1相同，故要对6a+1符号进行讨论.

①若6a+1>0，二次函数y=a2x2+4ax+6a+1在x=0附近的两侧函数值为正，即存在m1>0，当x∈（0，m1）时，a2x2+4ax+6a+1>0，故当x∈（0，m1）且x0，所以x=0不是h（x）的极大值点.

②若6a+1<0，同理存在m2<0，当x∈（m2，0）时，a2x2+4ax+6a+1<0，故当x∈（m2，0）且x

③若6a+1=0即a=-16，则h′（x）=x3（x-24）（x+1）（x2-6x-12）2，当x∈（-1，0）时，h′（x）>0；当x∈（0，1）时，h′（x）<0，故x=0为h（x）的极大值点，从而x=0为f（x）的极大值点.综上：a=-16.

评析本解答难度大，需要理性思维和高水平逻辑推理素养.为什么要把研究f（x）转化为研究h（x）？……