刘刚

一般地，把以椭圆短轴为直径的圆叫椭圆的同心内切圆.翻阅近些年的圆锥曲线考题，发现以椭圆及其同心内切圆为背景的试题频繁出现，成为了命题热点.这类试题考查了椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆（圆）的位置关系，考查了坐标法的应用，体现了在知识交汇处命题的原则.由于圆作为基本的平面图形，有着丰富的几何性质，所以在解决这类问题时，应先挖掘图形中几何特点，遵循“先几何后代数”的解题策略.下面，对这类试题归纳梳理，供大家参考.

1长度差定值[1]

例1（2017年全国高中数学联赛天津预赛）设F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P.则|AF|-|AP|=[CD#3].

解法1设F（-c，0），A（acosα，bsinα），其中α∈（0，π2），则|AF|=（acosα+c）2+（bsinα）2=a2cos2α+2accosα+c2+（a2-c2）sin2α=a2+2accosα+c2cos2α=a+ccosα，同时|AP|=AO2-OP2=（acosα）2+（bsinα）2-b2=（a2-b2）cos2α=ccosα，所以|AF|-|AP|=a.

图1

解法2[2]如图1，取椭圆C的右焦点为F1，连接OA，OP，AF1，因为OA是△AFF1的中线，所以2OA2+2OF12=AF2+AF12①.因为OP⊥AP，所以OA2=AP2+OP2=AP2+b2，所以①为2（AP2+b2）+2c2=（AF+AF1）2-2AF·（2a-AF），整理得AP2=（AF-a）2，所以AP=AF-a，或AP=a-AF（舍），故|AF|-|AP|=a.

点评解法1借助椭圆参数方程先设出点A的坐标，然后表示出|AF|，|AP|，从而使问题得以解决，体现了坐标法的应用；解法2立足图形，运用平面几何知识求解，体现了简洁性，因此在解决解析几何问题时应遵循“先几何后代数”的策略.2角度定值

例2（2015年5月北京市海淀区高三二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A、B分别是椭圆C的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：∠MQN为定值.

图2

解（Ⅰ）略，圆O的方程为x2+y2=2，椭……