陈启南

球问题是立体几何的重要知识和常见考点，与球相关的计算问题在高考和各类模拟题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多，三棱锥外接球问题灵活多变，确定球心的位置是解决此类问题的切入点，也是解题的难点，本文从三个视角探究三棱锥外接球问题的求解方法，以供参考.

视角一底面外心沿垂线方向确定球心位置

由外接球性质，球心到各顶点距离相等，三棱锥外接球的球心在底面投影即为底面三角形的外心，由此可知，球心位置可在底面三角形的外心沿垂线方向来确定.

类型1底面特殊三角形外心沿垂线方向确定球心位置

例1正四面体P-ABC边长为a，求其外接球的表面积为.

解析如图1，正四面体PA=PB=PC，点P在底面等边△ABC投影为△ABC的重心，设球心为O，球半径为R，球心O在垂线PG上，在Rt△PGA中，易得AG=33a，PG=63a，在Rt△OGA中，AG2+OG2=OA2，即33a2+63a-R2=R2，解得R=64a，所以球的表面积为S=4πR2=32πa2.

例2三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=23，AC=4，∠BAC=30°，求该三棱锥外接球的表面积为.

解析如图2，因为AB=23，AC=4，∠BAC=30°，所以△ABC是直角三角形，其外心为斜边AC中点D点，即DA=DB=DC，因为平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，所以PD⊥平面ABC，易得PD=22，球心在PD上.设球心为O，球半径为R，因为OA=OP=OB=OC，所以在Rt△ODA中，AD2+OD2=OA2，即22+（22-R）2=R2，解得R=322，球的表面积为S=4πR2=18π.

拓展练习三棱锥O-ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，AB=6，BC=23，AC=43，则三棱锥O-ABC的体积为.

解析因为底面ABC的顶点在球O表面上，所以OA=OB=OC，所以点O在底面ABC射影为△ABC的外心，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，斜边AC中点D点为点O在底面ABC投影点，所以OD⊥平面ABC，即OD为三棱锥底面ABC的高，易得三棱锥体积为43.

类型2底面一般三角形求外心……