三次函数在各地高考中都有非常多的考查，它是考查导数很好的素材，其导函数为二次函数，所以本文类比二次函数一般的形式，通过归纳总结后，得到三次函数表达式的四种形式，即一般式、三根式、对称中心式、极值点式，并利用这些形式分析三次函数中的两值，即极值和最值，这样使问题分析更加深刻和透彻.

1三次函数性质类比

类比二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的表达式与性质，我们可以得到：

性质1三次函数一般式：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）；

三次函数三根式：f（x）=ax-x1x-x2x-x3（a≠0）

一方面，三次函数是中心对称图形，其对称中心为（-b3a，f（-b3a））；另一方面，对三次函数的一般式可以作如下化简：

f（x）=ax3+bx2+cx+d=a（x+b3a）3+3ac-b23ax+27a2d-b327a2

=a（x+b3a）3+3ac-b23a（x+b3a）+2b3-9abc+27a2d27a2.

因此，类比二次函数的顶点式，给出如下表示形式：

性质2三次函数对称中心式：f（x）=a（x+b3a）3+t（x+b3a）+f（-b3a）.

性质3三次函数极值点式：f（x）=a（x-x1）2（x-n）+k或f（x）=a（x-x2）2（x-m）+e（x1，x2为其两个极值点）.

由性质3我们可以得到如下重要结论：

推论如果三次函数有两个极值点x1、x2（其中x1

那么x1，x0，x2三个数将区间[m，n]四等分.（其中m，n为性质3中的字母且m

证明由性质3，设f（x）=a（x-x1）2（x-n）+k，则f′（x）=a（x-x1）（3x-2n-x1）.

[TS（][JZ]图1[TS）]

令f′（x）=0，得f（x）的极值点为x1，2n+x13.

所以x2=2n+x13，即n-x2=x2-x12，又f（x）

关于点（x0，f（x0））中心对称，得x1，x0，x2三个数将区间[m，n]四等分，即证.

2三次函数性质应用

利用上面类比得到的三次函数的“四式”性质，笔者发现在解决三次函数问题时十分有用，对研究三次函数的极值与最值问题也带来很大的方便.

2.1三次函数“四式”应用

例1（2014年浙江卷理科第6题文科第7题）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且

0

A.c≤3 B.39

分析1三根式设f（-1）=f（-2）=f（-3）=t∈0，3，则-3，-2，-1为方程f（x）-t=0的三个根，因此，由三次函数的三根式可表示为：f（x）-t=（x+1）（x+2）（x+3），

所以f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+t=x3+ax2+bx+c.从而f（0）=6+t=c∈6，9，因此选C.

分析2对称中心式由三次函数的对称性可知f（x）=x3+ax2+bx+c关于点（-2，f（-2））成……