冯寅

数学问题中往往由许多不同的量构成，有些量是确定的，有些量是变化的，而确定与变化是相对的，可以互相的转化.我们遇到的有些问题需要在变化中寻找不变量，有些问题需要在不变中发现变化的轨迹，在确定与变化的不断转换中，我们可以感受到思维的奇妙与灵活.

1在变化中寻找确定因素

有些数学问题中包含着许多不确定的因素，如图形的不确定、位置的不确定、数量的不确定等等，但在这些不确定的因素背后往往隐含有一定的确定因子，如果我们能在不确定的因素中发现确定的因子，抓住问题的本质就一定能使问题有效的解决.

问题1如图1，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是[CD#3].

分析此题是以三角形的翻折为素材设计的问题，图形是不确定的.要研究直线AC与BD′所成角的变化规律，我们应该在图形变化的过程中，首先寻找确定的因素，再利用这些确定因素来体现直线与直线所成角的变化规律.[TS（][JZ]图2[TS）]

确定因素1从图形的特点看，四边形ABCD在沿直线AC的翻折过程中，点B，D在AC上的投影是不变的.

我们可以利用这个确定的因素，找到直线AC与BD′所成的角.

设D′E⊥AC于E，BF⊥AC于F，过E作EG∥BF且EG=BF，连结BG，BD′，GD′，那么∠GBD′是直线AC与BD′所成的角（如图2）.

在Rt△BGD′中，cos∠GBD′=BGBD′，而BG=EF=63，

那么，当BD′最小时，cos∠GBD′最大.

在△BED′中，BE=302，D′E=306，则当D′落在平面ABC上时，BD′最短.

又因为，∠DAC=∠BAC，所以D′点在线段AB上，这时BD′=2.

因此，cos∠GBD′的最大值为66.

确定因素2从向量的角度思考，AC·BD′是确定的.

四边形ABCD在沿直线AC的翻折过程中，点B，D在AC上的投影是……