王元　王文清

【摘要】通过对教材上的一道二元不等式问题进行一般化的推广，得到一个优美的一般化的重要的二元不等式，进而用这个二元不等式演绎出一系列多元基本不等式，让学生在“玩”中学习数学.

【关键词】玩；学习数学；二元不等式；多元均值不等式

常庚哲教授说：“……大多数的数学定理和命题就是数学家‘瞎鼓捣而玩出来的……”.“玩”不仅有“变式、变换、特殊化、一般化、类比、归纳、猜想、探索、推广、应用”的含义，而且要环环相扣，使数学学习变成一系列的“智力游戏”、“思维游戏”、“推理游戏”.

下面以人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书《选修45·不等式选讲》第21页“第二讲——证明不等式的基本方法”：“一、比较法”的例1为例，看“数学是怎样玩出来的”.

例1（教材P21）已知a，b是正数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2.

1在“玩”中做推广

将指数3做推广，可得一个优美的重要二元不等式：若a，b，n，m均是非负实数，且n≥m，则an+bn≥ambn-m+an-mbm.[JY]（*）

证明因为an+bn-（ambn-m+an-mbm）=aman-m-bn-m-bman-m-bn-m

=am-bman-m-bn-m，

因为a，b，n，m均是非负实数，且n≥m，由幂函数的性质知，am-bm与an-m-bn-m同号或同时为0，所以am-bman-m-bn-m≥0.

即an+bn-（ambn-m+an-mbm）≥0.

所以an+bn≥ambn-m+an-mbm.

2在“玩”中演绎多元不等式

2.1“玩”出“二元基本不等式”

在不等式（*）中，令n=2，m=1，即得，二元基本不等式：若a，b均是非負实数，则a2+b2≥2ab.

注由上面的不等式，只要一个代换“a2→a，b2→b”，并两边同除以2，即得二元均值不等式：

a+b2≥ab.

2.2“玩”出“三元基本不等式”

已知a，b，c均是非负实数，求证：a3+b3+c3≥3abc.

证明在不等式（*）中，令n=3，m=1知，a3+b3≥ab2+a2b，

同理，a3+c3≥ac2+a2c，

b3+c3≥bc2+b2c，

以上三个不等式左右两边分别相加，得

2a3+b3+c3≥ab2+c2+ba2+c2+ca2+b2≥2abc+2abc+2abc=6abc，

所以a3+b3+c3≥3abc.

注（1）上述证明是如此的简洁、优美，与教材上用比较法证明相比，不仅避开了学生初中未学的两数和的立方与两数立