广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、试题呈现与命题分析

试题已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.

试题分析试题结构非常简单,题干也短,构思独特.以三角函数为背景,考查函数的最值问题.知识方面主要考查三角恒等变换,三角函数性质及其相关运算,均值不等式,导数法等;思想方面主要考查转化与化归思想,换元思想与数形结合思想.综合考察学生逻辑思维、推理及运算等方面的能力.本题作为填空题中的压轴题,是一道具有选拔学生功能的好题.

本文将给出此题的多种解法,抛砖引玉.

二、解法赏析

(1)视角1:均值不等式

解法一由于f(x)=2sinx+sin2x是奇函数,其最大值与最小值是互为相反数,所以只需求f(x)的最大值.因为y=f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),所以

故y的最大值为当且仅当3-3cosx=1+cosx,即时,等号成立.所以f(x)的最小值是

解法二因为设则有

评注利用均值不等式求最值是高中数学常用方法之一,若要用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数,通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造.解法一与解法二都用到了四元均值不等式,此外还用到了三角变换等知识.

(2)视角2:导数法

解法三由于f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期是2π,所以只须考虑x∈[0,2π).当x=π时,f(x)=0;当时,

令f′(x)=0,可得或易知:当x∈时,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函数;当x∈时,f′(x)＜0,即f(x)在上是减函数;当时,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函数.所以当时,f(x)取得最小值于是当x∈R时,f(x)的最小值是

解法四因为f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),由三角函数的万能公式

代入f(x)并化简,可得设令则有令y′=0,则……