罗广萍

摘 要：高等数学作为理工科大学生学习的一门重要基础学科，它对几乎所有后续的专业课，都有直接或间接的重要影响。本文针对现阶段对高等数学学生的认识、老师的教授等误区，给出一些具体的建议，希望能给本科高等数学的教育教学提供有力的参考。

关键词：高等数学教学 教材教法 教学观念

作为工科大学生，他们进大学的第一门重要的公共基础课，就是高等数学。在中学及之前的数学知识，是经典的初等数学部分。进大学学的第一门高等数学，是他们学习的第一门现代数学。这时的数学思维、学习方法等都跟过去不一样。还有，微积分的思想来自于两位独立的创始人牛顿和莱布尼兹，他们的思维方式和思维习惯，跟我们东方人的方式和习惯或多或少有些不一样。因此有相当一部分同学在学习高等数学时，会明显地感觉吃力，或不知道怎样学习。他们还沿用中学的办法来学习，结果会发现根本学不好这门课，甚至上课坐飞机。面对这种情况，专家们一直在呼吁和尝试对高等数学的教学进行改革，但改革的效果确并不令人满意。过去大都停留在改进教学方法， 更新教学内容和教学大纲，以及现代教学手段的一些应用等研究较多。这样，多年来对高等数学教学的改革，人们仍停留在教师在原有数学理论里进行局部的尝试，没有很好地认识到学生的思维转变，可能比一般教学手段更重要。这正是高等数学教学在工科数学教学改革中，难以取得突破性进展的主要原因。

从数学教育的发展历史看，教学内容的改变是一直要进行下去的，这是因为人们对数学以及现代数学的认识，会随着时间的推移而更加深入。就近现代而言， 世界上的数学教育改革大体上经历了以下三个阶段：1，六十年代的“新数学运动”；2，七十年代的“回到基础”；3，八十年代的“解决问题”阶段。各个阶段的特点不尽一致。“新数学运动”是以追求教学内容的“高、新、全”为目标；“回到基础”阶段则强调以基础知识和基本技能为主要教学内容，虽然这一阶段的改革使受教育者的基本技能有所提高，但仍未解决数学教育与社会发展不相适应的矛盾；“解决问题”阶段则以强调培养学生解决实际问题的能力，力求使学生学到现代及不久的将来所需的必要的基础知识，并有解决实际问题的能力。这正是现在我们大学数学所处的数学教育历史阶段，高等数学的教育教学显得尤为突出。无论以上的发展经历是什么，也不管这些改革是在什么条件下发生的， 这些变革都以改变教学内容为根本目标，不改革教学内容就不能促及真正的改革。我们简单地从以下几个方面来谈谈高等数学的教育教学中应该注意的问题。

一、学以致用的原则

在跟学生交谈中，随机抽取几个学生问一下他们“你认为学习数学的目的是什么？”他们有很多回答，主要有做题和考试，锻炼思维的逻辑性、完全性等。如果学生是这样来认识数学的，那他们是学不好数学的。我们要大声地告诉他们：数学与我们的生活息息相关，现代的科技也好，高科技也罢，无一能离开数学。数学的用处在学生的学习过程中，慢慢来灌输。在学生学习到不同的知识阶段、不同知识点，告诉学生这是什么，用在我们生活中的什么地方。比如学习了函数的连续性，你可以告诉他，可以用函数的连续性来判定两辆相撞的汽车，如果一辆车被撞破了，另一辆没破，那就说明破裂的车辆受损更严重，因为把它撞得不连续了。有如又一次，一个大学生创新项目的答辩，一个学生在演示无人机从运动场的一端飞到另一端，去抓取一个预先放置好的水杯。无人机很快飞到水杯正上方，然后盘旋了很久，始终无法下降下去抓取水杯。经过了十多次的努力尝试，最后终于抓取到了水杯。答辩委员中，工科老师说你只是实现了无人机抓取水杯的功能，没有什么创新。我问他，无人机为什么要盘旋那么久才下降去抓水杯，他说因为信号的精度，无人机没法准确判断水杯的具体位置，所以在一次次地尝试。我问他为什么不提高信号的精度，他说没学过。我就告诉他，这在高等数学中能找到答案，他表示不相信。在高等数学中，应该较早就学习了泰勒展式，如果你的信号是光滑的，能够展开成收敛的泰勒幂级数，那么就只需要在信号处理时，多加上几项多项式就能够体高精度；如果你的信号不那么光滑，不能展开成收敛的幂级数，那么尽量想办法把信号延拓成周期函数，然后就用傅里叶展开，将你延拓成周期函数的信号，展开成傅里叶幂级数，你只要在处理信号时，多用几项三角函数就行了，这样也可以提高信号的精度。如果我们在讲授高等数学时，每讲到一定的知识点，告诉学生数学的作用，那学生学习的积极性就会大增。

二、多样化的教学手段

对于长期从事高等数学教学的老师而言，他们己经习惯了粉笔加黑板的教学方式，当然这种传统的教学模式，应该是一种行之有效的教学模式，不能否认它的优越性，简单、直接，并且学生比较容易跟上教师的思路。但是在具体的教学中，过于单一的教学手段，一支粉笔写到底的方式，往往让学生疲劳。这样教师学生都感觉很累。因此建议采用多媒体与板书结合型教学模式。一些概念的引入、图形拘绘制等。例如重积分的计算部分，尤其是空间区域上的积分，需要将空间区域画出来。采用纯板书式教学既浪费时间，而且很难作得比较准确，学生往往也不容易想象出几何图形的空间结构。而多媒体教学的合理引入，甚至可以用PPT文件的形式，就能够大大改善教学效果，提高学生学习的兴趣，关键是提高了效率。当然采用多媒体教学只是一种新的教学手段，它不能完全替代传统的板书教学模式，只能是一种辅助式教学方式。在定理的证明，必要的演算过程中，很不适宜用多媒体，因为板书过程学生会跟上教师的思路，而不单是一个照相机，把老师讲解的内容复制下来。只有把传统的教学模式、教师个人教学特点和多媒体辅助教学有机地结合起来，我们认为教学效果才能真正体现。

三、富于变化的教学形式

在传统的教学活动中，往往是老师教、学生听，然后老师评讲。学生不要去怀疑老师讲的内容。学生往往认为老师讲的都是正确的，并且要用来考试，这是他们学习的目的。学生长期以来就养成全盘接受的心理。这种满堂灌、保姆式的教学活动，这会养成学生对老师的严重依赖，更不利于他们创新性思维的培养和养成。创新性产品是现在的产品不尽如人意，通过重新设计改进缺点，达到更完善的地步；或者现实生活中还没有，从零开始创造出一个全新的产品。如果一个認为别人做出来的都是对的，没有改进的余地的人，很难想像他能在以后的生活中创造出更合理的创新型产品。针对以往相对较死板的教学模式，我们就需要设计出一种更合理的教学方式，这样才能培养出创新性人才。总的思想是：学生在教师的引导下，变被动接受知识为主动探寻真相。经过实践，学生将书本上一些定理原有的证明过程，给出了另外的更为简单的证明；还从书上的某些定义、定理出发，得到了新的定理。比如将一门课根据内容的难易程度、重要程度等，分为讲授课、自学探索课等等。讲授课一般是课程中比较经典的、较难较重要的部分这部分有老师讲解。经典定理的理解与证明是由教师讲授一些基本的现象，让学生总结出抽象的定理形式。在此基础上，通过对特殊现象的定理的证明的加工、抽象，就得到所需定理的证明。比如《线性代数》中的维数定理、特征子空间的分解等等。自学探索课一般是学生在前期已经学过类似的课程，或者这部分内容应用比较强，理论较较弱，可以考虑为自学探索内容。在这个环节中，教师拟定专题讨论方向，给出一些参考题目，学生通过查阅文献、收集摘取相关资料，总结后形成自己的观点。然后按照自愿的方式让学生发表演讲。在这一环节中，要做好两点，一是控制陈述时间，下限10分钟，上限15分钟，既要杜绝敷衍了事，同时也要求学生将丰富的内容浓缩为精华，而不是长篇大论，这是对学生判断力、概括力等智能的极好开发。在课堂讨论中，教师作为教学的组织者、引导着，不能任意干预课堂，从分发挥民主，积极调动学生讨论问题的热情，否则难以培养出学生的创新动力和思想。也要适时的关注讨论的情况和走势，适时点拨、引导，尽可能不要走进死胡同，始终让讨论处于欢快热烈的状态。

四、适当学点数学史

伟大的数学家欧拉，在数学的几乎所有分支中，都有重要的贡献，我们常常会听到以欧拉名字命名的欧拉公式、欧拉常数等等。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。甚至人们认为：没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。法国数学家拉普拉斯则认为：“读读欧拉，他是所有人的老师”。我国已故著名数学家、机器证明的发现者吴文俊先生说过：“数学教育与数学史是分不开的。”基于此，在实际教学活动中，适当增加一点数学史方面的知识，对学生在知识理解的深度和广度方面，将很有帮助，并且也使抽象的数学知识显得生动而易于接受，使得学生不会认为数学是刻板的，而是活生生的。伟大的数学家也有我们常人一样的生活、工作情趣。例如，微积分基本公式是数学史上的伟大创造，是由牛顿和莱布尼兹各自独立的从微积分各种不同侧面来思考问题的：一个从物体的瞬时运动如何表达；另一个从几何的观点入手，如何表达一条光滑曲线的切线。这样学生便于理解和运用微积分。

五、分专业的教学模式

工科类大学的专业，大多数是有工程应用背景的。虽然工程专业对数学的要求很高，它们也常常将数学作为一门最重要的公共基础课，但具体对不同专业，它们也有很多侧重点不一样。比如机械工程专业，工程力学要求很高，对数学的积分以及平面第一、二型曲线积分，空间第一、二型曲面积分要求很高；又比如对经济类专业，需要宏观经济、微观经济，以及若干的如布莱克-修尔斯经济定价模型等等，对微分以及微分方程的学习要求比较高。因此高等数学课应体现数学与学生所学专业的相结合，当然教师需要深入研究各专业的具体教学计划、课程设置、培养目标、专业能力及知识要点，必要的时候，也可以听听各专业的专业基础课程，做到有的放矢。如在计算机专业讲授高等数学课程，可以结合学生所学专业内容，重点讲授分段函数、不连续函数以及微积分中的数学思想；在讲到微分的几何意义时，可以在管理专业多介绍一点，因为管理中要涉及到边际效用函数，这时微分定义出来的概念。

不同专业的学生的兴趣、爱好及发展方向各不相同。當然针对所有不同专业，都制定出一个相应的授课计划，这将也许是最好的教学模式，但实际做不到，因为任何学校不可能有如此充沛的教师资源。但 就大类来讲，我们还是有一些办法的，比如我们可以按照工学、理学、经济、人文学科等分成大类。针对大类来制定相应计划。当然也可按国家的大类招生的办法来制定教学计划。对某些逻辑思维能力要求较高的专业如计算机专业的学生而言，尤其是学习算法语言时，需要很好的数理逻辑，这为后继课程打好坚实的理论与实际操作基础。而对某些侧重于应用技术性专业的学生而言，在高等数学的教学上可以适度地降低对思想方法上的要求，但要加强他们在数学的计算能力，这有利于他们以后在计算工件尺度、力的结构承受等都有很多帮助。教学是一门艺术，尤其对高等数学的教学更是这样。它需要广大的高等数学教育工作者倾注更多的精力来完成这项工作。

参考文献：

[1] 王莉， 李茂，关于工科大学数学教学内容改革的思考，2（1992）高等建筑教育。。

[2] 何勇，王永兴，我国高等院校经济学专业课程结构的缺陷及改革思路，北京市高等教育学会 2007年学术年会论文集。

[3] 燕斌，师范生与中学教师教学观念比较研究，硕士论文。