徐剑飞

【摘要】解题就是把问题归结为已经解决的题目，从不同角度去理解就会形成对问题的不同归结，解法自然会有较大的差异.本文以一道模考题为例，分别从二次函数最值，绝对值不等式性质角度，二次函数图像与性质角度等三个角度去理解，从而得出不同的问题转化方向.抓住理解问题的角度和转化问题的方向，也就是解题教学的关键所在.

【关键词】理解问题的角度；转化问题的方向；二次函数值差

苏联数学家亚诺夫斯卡娅认为，解题就是把题归结为已经解决的题.同为苏联的弗里德曼在《怎样学会解数学题》中也认为，识别给定问题的类型是解题的第一件事.当然，还有些时候不容易鉴别或者归类（这当然与解题者的能力有关）.此时，对问题理解角度的不同，就会形成对问题归结的不同，解法自然会有较大差异.

问题 设f（x）=4x+1+a·2x+b（a，b∈R），若对于x∈[0，1]，|f（x）|≤12都成立，则b=.

令2x=t∈[1，2]，则已知为g（t）=4t2+at+b，对t∈[1，2]，|g（t）|≤12恒成立.

角度一 将|g（t）|≤12理解为-12≤g（t）≤12，即g（t）max≤12且g（t）min≥-12，从而将问题定性为g（t）的最大（小）值问题，于是有以下的解法.

解法一

当-a8≤1时，g（t）max=g（2），g（t）min=g（1），

从而16+2a+b≤12，

4+a+b≥-12，

-a8≤1.

由①②可得，12-2a-16≥b≥-12-4-a，從而a≤-11与③矛盾，此时无解；

当-a8≥2时，同理有4+a+b≤12，16+2a+b≥-12，

解得a≥-13，但与a≤-16矛盾，此时无解.

同理分析当1<-a8≤32时，32<-a8<2.

可知，仅有b=172满足.（此时a=-12）

说明：把本题视为简单的二次函数最值问题入手容易，除讨论稍显复杂以外解法显得厚重，然而关键之处还在于利用二元不等式组先行求得a的范围（或值），消去b还是消a对解题的影响较大.事实上大多数学生面对形如①②③这样的不等式组是会有抵触情绪的，尤其是……