张少波

【摘要】结合在洛必达法则教学中发现的问题，通过实例阐述洛必达法则解未定式极限的方法、技巧以及应用中存在的一些误区，以便更好地使用洛必达法则求极限.

【关键词】极限；洛必达法则；误区

求极限是高等数学中相当重要的一部分内容，而洛必达法则在解未定式极限中发挥了很大的作用，很多学生在使用洛必达法则时不够灵活，甚至由于对定理认识不足而忽略了其使用的条件，下面通过实例来讨论使用洛必达法则的方法和需要注意的问题.

一、00及∞∞型未定式

在文献[1]中定理6.6及定理6.7给出了洛必达法则及其证明，它是导数的一个应用，是对00及∞∞型未定式極限的解法，下面通过例子说明其应用.

例1 求 limx→0ex-1sinx.（00型未定式）

解 limx→0ex-1sinx=limx→0（ex-1）′（sinx）′=limx→0excosx=1.

例2 求 limx→+∞x3ex.（∞∞型未定式）

解 limx→+∞x3ex=limx→+∞（x3）′（ex）′=limx→+∞3x2ex（为∞∞型未定式）

=limx→+∞6xex（为∞∞型未定式）

=limx→+∞6ex=0.

例2说明，洛必达法则在求极限时，只要满足条件，可重复使用.

二、其他类型的未定式极限

未定式的类型还有0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞等，在此不一一举例，对于此类未定式，我们一般可以将其转化为00或∞∞型，再用洛必达法则求解.

例3 求 limx→0+xlnx.（0·∞型未定式）

解 limx→0+xlnx=limx→0+lnx1x（转化为∞∞）=limx→0+1x-1x2=limx→0+（-x）=0.

应用洛必达法则，首先未定式应为00或∞∞型的商的形式，如例3这种乘积形式的未定式，我们先将其转化为商的形式，即00或∞∞，再用洛必达法则求解.

例4 求 limx→0+（sinx）x.[2]（00型未定式）

解 limx→0+（sinx）x=limx→0+exlnsinx（变形后，指数为0·∞型未定式）=limx→0+elnsinx1x（指数部分化为∞∞）=elimx→0+cosxsinx-1x2（洛必达法则）=e-limx→0+xsinx·x·cosx=e0=1.

如例4中幂指函数类型的未定式求极限，我们一般可先利用恒等变形uv=evlnu将其化为指数为乘积的形式，再将指数转化为00或∞∞型，最后用洛必达……