鲁永明

[摘 要] 本文通过用垂直理念证明勾股定理和解决典型例题来阐述垂直在几何解题中的价值. 若能提炼出问题中的垂直，往往能使问题回归源头，易于解决. 同时，其也说明了构建理念的重要性.

[关键词] 垂直；纵横理念；勾股定理

问题由来

笔者有幸拜读了重庆市万州高级中学张进老师发表在《中学数学教学参考》2017年1-2期上的一篇文章——《探索一道竞赛试题解法的心路历程》，这是第24届“希望杯”中的一道填空题，题干如下：

如图1，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等边三角形，且点C在DE上，如果AD=7，BE=11，则△ABC的面积为______.

张老师居然探索出13种解法，简直匪夷所思，令人叹为观止！相信对于有一定基础的学生一定会脑洞大开、受益匪浅！

纵横理念

那么，是否还有其他解决途径呢？笔者想到了垂直（称为纵横）. 笔者在长期的教学实践中感悟到了垂直关系在解决几何问题中的重要地位，于是笔者在几何学中渐渐有了一个重要的理念——纵横理念，即在解决几何问题的过程中，尽可能提炼出问题中的垂直关系，并以垂直为线索展开实践、探索活动，直至问题解决.

人类进化的标志性特征是直立行走，从数学的视角来看，直立行走就是垂直，而垂直只是一种表象，背后蕴藏着一股强大的生命能量！勾股定理就是最好的例证之一！把直角看作纵横，勾股定理就是揭示斜与纵横之间的一种数量关系.

纵横理念证明勾股定理

已知：如图2，设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c>b≥a），求证：a2+b2=c2.

勾股定理从“形……