2018年5月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2421已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c=3,求证：

(安徽省六安第二中学陶兴红237005 )

证明由均值不等式得

同理可得

将上述三个不等式相加得

≥7(a+b+c).

结合a+b+c=3,可得

显然当且仅当a=b=c=1时不等式取等号.

2422以Rt△ABC中直角边BC为长轴的椭圆E与斜边AB交于点P和B，证明：以AC为直径的圆ω是△PF1F2的旁切圆，其中F1和F2为椭圆E的焦点.

(河南省辉县市一中贺基军453600)

于是，椭圆E的方程为

直线AB的方程为

根据以上两个方程得

⟹b2x2-2ab2x+r2(2a-x)2=0

⟹(b2+r2)x2-2a(b2+2r2)x+4a2r2=0

⟹(x-2a)[(b2+r2)x-2ar2]=0，

这个方程的两个根分别是点B和点P的横坐标，从而得点P(x0，y0)的坐标为

①

②

记m=a±c，直线F2P和F1P分别经过对应的点(m，0)及点(x0，y0)，它们的方程合写为

(x0-m)y=y0(x-m)，

又知，以AC为直径的圆ω的方程为

根据以上两个方程得

这个方程的根的判别式为

代入①和②得

=0.

对m=a±c都有Δ=0，由此可知直线F2P和F1P分别与圆ω相切，且其中一个切点在△PF1F2的边F2P的延长线上，另一个切点在边F1P上.

又知，△PF1F2的边F2F1的延长线与圆ω相切于点C.

因此，圆ω是△PF1F2的旁切圆.

(湖北省谷城县第三中学贺斌 441700)

所以

证毕．

2424如图，点D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB=ED=FD=FC，G为△ABC的外心，求证：A、E、G、F共圆．

(江西师范高等专科学校王建荣335000)

证明由∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-∠EDB-∠FDC=∠EDF，

分别以E、F为圆心，EB、FC为半径作圆交于I，

连IB、IC、ID、IE、IF，

设IB交GE于J，IC交GF于K，

显然E、F分别是△BDI和△CDI的外心，

且两圆半径相等⟹四边形DFIE为菱形，

如图，在⊙E上取一点H，

由∠BHI=∠CDI可知

IB=IC⟹△BEI≌△CFI，

因此∠BAC=∠EDF=∠EIF=∠BIC，

故I点也在⊙G上⟹GJ⊥IB，GK⊥IC

⟹I、J、G、K共圆，

故∠JIK+∠JGK=∠BAC+∠EGF=180°，

因此A、E、G、F共圆．

2425已知为正实数且abc=1,n∈N+，求证：

(安徽省岳西中学储百六246600)

由幂平均不等式和均值不等式可得

三式相加，再由切比雪夫不等式可得

证毕.

2018年6月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2426形如n=4a(8b+7)(a,b∈N)的正整数不能表示成三个整数的平方和.

(浙江省富阳二……