王红权

(杭州市基础教育研究室　310003)

1　认知方式的改变是无理数难以理解的根本原因

自然数是“数”出来的，有理数是“量”出来的，无理数则是“想”出来的.能“数”能“量”的事物往往有具象支持，“想”出来的则往往是形而上的，缺少直观或经验的支持，变得非常抽象.人们对一个事物的认知首先是经验的，在经验不足时就很难被接受.

(2)间接认识是唯一的办法.在学生没有充分体验有“非有理数”存在之前，什么时候给出所谓“无理数的定义”其实并不重要，事实上，“无理数就是无限不循环小数”的定义无助于学生对无理数的理解，对关键词“无限”和“不循环”理解的困难丝毫不亚于概念本身.而且概念的定义方式本身也不具备操作性(运算或推理)，完全超越学生已有的经验和认知水平，更何况概念所反映的本质又是内隐的，所以像这样的概念在毫无证据的情况下简单告知，或者苍白的辨析其关键词，都无助于学生对概念本身的理解.

数学发展的历史告诉我们，人类认识无理数的过程其实就是一个寻找证据的过程，是一个证实和逐渐接受且被表征的过程.古希腊数学家发现的“不可公度”线段，就是一个直接的证据，此后的千年便是从逻辑角度证实和用数学方式表征的过程，实数也有了以下几种界定方法：戴德金的分割说、康托尔的基本序列说、区间套说、比例说(不能表示成分数形式的数)和小数说(无限不循环小数)，实数的理论基础也渐渐完……